معادلة شرودنغر
المعادلة الأساسية لميكانيكا الكم غير النسبية: تحدد كيف تتطور دالة الموجة، ومنها تخرج مستويات الطاقة المكمّاة للذرات والجزيئات والمواد.
نص القانون
حالة جسيم كمومي كتلته \(m\) في جهد \(V(\mathbf{r},t)\) تصفها دالة موجة مركّبة \(\Psi(\mathbf{r},t)\)، وتتطور مع الزمن وفق معادلة شرودنغر:
$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\Psi+V\Psi$$إذا كان الجهد لا يتغير مع الزمن، فهناك حلول مستقرة \(\Psi=\psi(\mathbf{r})\,e^{-iEt/\hbar}\) تحقق المعادلة غير المعتمدة على الزمن:
$$-\frac{\hbar^{2}}{2m}\nabla^{2}\psi+V\psi=E\psi$$والمعنى الفيزيائي لدالة الموجة جاء من بورن: \(|\Psi|^{2}\,d^{3}r\) احتمال وجود الجسيم في الحجم \(d^{3}r\)، ولذلك يجب أن تكون الدالة معايَرة:
$$\int|\Psi|^{2}\,d^{3}r=1$$المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(\Psi(\mathbf{r},t)\) | دالة الموجة | m⁻³ᐟ² | \(\mathsf{L^{-3/2}}\) |
| \(|\Psi|^{2}\) | كثافة احتمال الوجود | m⁻³ | \(\mathsf{L^{-3}}\) |
| \(\hbar\) | ثابت بلانك المختزل | 1.054 571 817… × 10⁻³⁴ J·s | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-1}}\) |
| \(m\) | كتلة الجسيم | kg | \(\mathsf{M}\) |
| \(V(\mathbf{r})\) | طاقة الوضع | J (أو eV) | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(E\) | طاقة الحالة المستقرة | J (أو eV) | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(\hbar^{2}/2m_e\) | ثابت الحركة للإلكترون | 0.038100 eV·nm² | \(\mathsf{M\,L^{4}\,T^{-2}}\) |
| \(E_h/2\) | طاقة ريدبرغ | 13.605693 eV | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
\(\hbar=h/2\pi\) مضبوط منذ 2019. كتلة الإلكترون وطاقة ريدبرغ ونصف قطر بور قيم CODATA 2018، ومنها \(\hbar^{2}/2m_e=0.038100\ \mathrm{eV\,nm^{2}}\)، وهو الثابت الذي يحوّل أي طول بالنانومتر إلى طاقة بالإلكترون فولت.
المعنى الفيزيائي
المعادلة تقابل قانون نيوتن في الميكانيكا الكلاسيكية: تأخذ الحالة الآن وتعطيها في أي وقت لاحق. الفرق أن الحالة ليست موضعاً وسرعة بل دالة موجة، ومنها تخرج الاحتمالات فقط:
- التكميم من الحدود: حين يكون الجسيم محصوراً لا تقبل المعادلة إلا حلولاً تتلاشى بعيداً، وهذا يسمح بقيم محددة للطاقة. لا حاجة إلى فرضية خاصة كما في نموذج بور.
- طاقة نقطة الصفر: أدنى طاقة لجسيم محصور ليست صفراً، لأن الحصر في مسافة \(L\) يفرض زخماً من رتبة \(\hbar/L\).
- النفاذ: الدالة لا تنعدم فجأة عند حاجز أعلى من طاقة الجسيم، بل تتناقص أُسياً، فيعبر الجسيم حاجزاً لا تسمح به الفيزياء الكلاسيكية.
- التراكب: المعادلة خطية، فمجموع حلين حل أيضاً، ومنه التداخل الكمومي.
ما يتطور حتمياً هو \(\Psi\) نفسها. أما نتيجة القياس الواحد فعشوائية، باحتمالات تحددها \(|\Psi|^{2}\).
الاشتقاق
المعادلة مسلّمة أساسية لا تُشتق من قوانين أعمق، لكن يمكن الوصول إليها بخطوات معقولة كما فعل شرودنغر.
1. من الموجة الحرة
علاقتا بلانك ودي برولي \(E=\hbar\omega\) و\(p=\hbar k\) تعطيان للموجة \(\Psi=e^{i(kx-\omega t)}\):
$$i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial t}=E\,\Psi,\qquad-i\hbar\frac{\partial\Psi}{\partial x}=p\,\Psi$$فإذا طلبنا أن تحقق الموجة علاقة الطاقة الكلاسيكية \(E=p^{2}/2m+V\)، نستبدل الطاقة والزخم بمؤثرَيهما فنحصل على المعادلة.
2. فصل المتغيرات
إذا لم يعتمد \(V\) على الزمن، يعطي التعويض \(\Psi=\psi(x)T(t)\) جانباً زمنياً \(T=e^{-iEt/\hbar}\) وجانباً مكانياً هو المعادلة غير المعتمدة على الزمن. هذه مسألة قيم ذاتية: \(E\) القيمة و\(\psi\) الدالة الذاتية.
3. مثال: صندوق لانهائي
داخل صندوق عرضه \(L\) يكون \(V=0\)، وعلى الجدارين \(\psi=0\). الحلول \(\psi_n=\sqrt{2/L}\sin(n\pi x/L)\)، والطاقات:
$$E_n=\frac{n^{2}\pi^{2}\hbar^{2}}{2mL^{2}},\qquad n=1,2,3,\ldots$$لإلكترون في صندوق عرضه 1 nm تكون \(E_1=0.3760\ \mathrm{eV}\) و\(E_2=1.5041\ \mathrm{eV}\) و\(E_3=3.3843\ \mathrm{eV}\).
4. ذرة الهيدروجين
بجهد كولوم وحل المعادلة في ثلاثة أبعاد تخرج مستويات بور نفسها، مع كتلة مختزلة \(\mu=m_em_p/(m_e+m_p)\):
$$E_n=-\frac{\mu}{m_e}\,\frac{13.605693\ \mathrm{eV}}{n^{2}}$$وهذا أعطى للمرة الأولى سبباً لتكميم بور بدل افتراضه.
السياق التاريخي
نشأت المعادلة في أقل من سنتين بعد فكرة دي برولي، وفي سباق مع صياغة هايزنبرغ المصفوفية التي تبيّن لاحقاً أنها مكافئة لها.
- 1924دي برولي يقترح أن لكل جسيم طولاً موجياً \(\lambda=h/p\).
- 1925هايزنبرغ يضع ميكانيكا المصفوفات، ثم يطورها مع بورن ويوردان.
- 1926شرودنغر ينشر في Annalen der Physik سلسلة «التكميم بوصفه مسألة قيم ذاتية»، يحل في أولها ذرة الهيدروجين، ويبيّن لاحقاً تكافؤ صياغته مع صياغة هايزنبرغ.
- 1926بورن يفسر \(|\Psi|^{2}\) كثافة احتمال.
- 1927دافيسون وجيرمر في الولايات المتحدة وطومسون في بريطانيا يرصدون حيود الإلكترونات، فيتأكد الطابع الموجي للمادة.
- 1928ديراك يضع المعادلة النسبية للإلكترون، وتظهر فيها المغزلية تلقائياً.
- 1933شرودنغر وديراك يتقاسمان جائزة نوبل في الفيزياء.
- 1981–86بينيغ وروهرر يبنيان المجهر النفقي الماسح القائم على النفاذ الكمومي، وينالان نوبل عام 1986.
- 2011قياس تردد انتقال 1S–2S في الهيدروجين بدقة تقارب أربعة أجزاء من ألف تريليون.
حدود الصلاحية
- غير نسبية: المعادلة تفترض \(E=p^{2}/2m\). للسرعات القريبة من الضوء تُستبدل بمعادلة ديراك للإلكترون أو كلاين–غوردون.
- بلا مغزلية: المغزلية تُضاف يدوياً (معادلة باولي). لذلك لا تتنبأ المعادلة بالبنية الدقيقة لأطياف الذرات.
- الحقل الكلاسيكي: الجهد \(V\) معطى. الإشعاع التلقائي وانزياح لامب يحتاجان تكميم المجال الكهرومغناطيسي.
- الأنظمة كثيرة الجسيمات: المعادلة صحيحة لها مبدئياً، لكن حلها الدقيق مستحيل عملياً، فتُستعمل تقريبات مثل هارتري–فوك ونظرية دالية الكثافة.
- القياس: المعادلة تصف تطور \(\Psi\) بين القياسات، ولا تصف ما يحدث لحظة القياس نفسها، وهو موضوع نقاش مستمر في تفسير ميكانيكا الكم.
كم تبعد عن الواقع؟
تعطي المعادلة مع الكتلة المختزلة تردد انتقال 1S–2S في الهيدروجين \(f=2.466038\times10^{15}\ \mathrm{Hz}\)، بينما القياس 2 466 061 413 187 035 Hz. الفرق النسبي \(\approx9.3\times10^{-6}\)، وهو بالضبط من رتبة التصحيحات النسبية (\(\alpha^{2}\)) وتصحيحات الكهروديناميكا الكمومية التي تتجاهلها المعادلة.
المحاكاة التفاعلية
حلّال عددي للمعادلة غير المعتمدة على الزمن في بعد واحد بطريقة نوميروف مع عدّ العقد. اختر شكل الجهد، ثم غيّر العرض والعمق والكتلة الفعالة. تُرسم دوال الموجة عند مستويات طاقتها فوق منحنى الجهد، وكل رقم محسوب من الحل نفسه.
- الحالة الأرضية \(E_1\)
- —
- \(E_2\) و\(E_3\)
- —
- عدد الحالات المحسوبة تحت الحافة
- —
- طول موجة انتقال 2→1
- —
- احتمال وجود الحالة الأرضية خارج البئر
- —
- للمقارنة: صندوق لانهائي بالعرض نفسه
- —
الحل عددي (نوميروف وعدّ العقد) على شبكة داخل صندوق كبير جدرانه لا نهائية. في البئر المزدوجة يكون الحاجز بين البئرين بعرض ربع \(L\) وارتفاع \(V_0\). تُعرض حتى ست حالات أدنى من حافة الجهد؛ الحالات الأعلى ليست مقيدة.
التحقق التجريبي
التجارب الحاسمة
قذف دافيسون وجيرمر بلورة نيكل بإلكترونات طاقتها 54 eV فوجدا قمة حادة في شدة الإلكترونات المرتدة عند زاوية نحو 50°. طول موجة دي برولي لهذه الإلكترونات \(\lambda=h/\sqrt{2m_eE}\approx0.1669\ \mathrm{nm}\)، ومع المسافة بين صفوف الذرات على سطح النيكل (نحو 0.215 nm) يعطي شرط الحيود \(d\sin\theta=\lambda\) زاوية \(50.9^{\circ}\). الإلكترونات تحيد كالموجات.
وأدق اختبار حديث هو مطيافية الهيدروجين: تتنبأ المعادلة بمستوياته في حدود جزء من مئة ألف تقريباً، والفرق المتبقي تفسره النظرية النسبية والكهروديناميكا الكمومية بدقة تجاري قياسات الليزر.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: أنبوب حيود الإلكترونات
الإعداد: أنبوب مفرغ فيه مدفع إلكترونات يعجّلها جهد \(U\) من بضعة كيلوفولت، ورقاقة غرافيت متعددة البلورات، وشاشة فلورية، ومسطرة أو قدمة.
- شغّل الأنبوب وارفع جهد التعجيل تدريجياً حتى تظهر حلقتان واضحتان على الشاشة.
- قس قطري الحلقتين عند خمسة جهود أو أكثر.
- احسب الطول الموجي النظري \(\lambda=h/\sqrt{2m_eeU}\) لكل جهد.
- من هندسة الأنبوب احسب زاوية الحيود لكل حلقة، ثم \(d=\lambda/(2\sin\theta)\).
- ارسم قطر الحلقة مقابل \(1/\sqrt{U}\): الخط المستقيم دليل على \(\lambda\propto1/p\)، وقارن \(d\) المستخرج بمسافات الغرافيت المعروفة.
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- عرض الحلقة: الحلقات عريضة لأن البلورات صغيرة وكثيرة، فقس من منتصف عرضها.
- انحناء الشاشة: الشاشة كروية لا مستوية، فالعلاقة بين القطر والزاوية تحتاج تصحيحاً هندسياً.
- جهد التعجيل: القراءة على المصدر قد تختلف عن الجهد الفعلي على الإلكترونات.
- التصحيح النسبي: عند جهود أعلى من عشرات الكيلوفولت يصير \(\lambda=h/p\) مع الزخم النسبي ضرورياً.
مثال محلول: بئر كمومية من زرنيخيد الغاليوم
طبقة GaAs عرضها 10 nm بين طبقتين من AlGaAs تكوّن بئراً للإلكترونات عمقها نحو 0.30 eV، والكتلة الفعالة للإلكترون في GaAs نحو 0.067 من كتلته الحرة (قيم تمثيلية). احسب مستويات الطاقة وطول موجة الانتقال بين المستويين الأولين.
- تقدير أولي بصندوق لانهائي بالعرض نفسه: $$E_1=\frac{\pi^{2}\hbar^{2}}{2m^{*}L^{2}}$$ ≈ 56.1 meV.
- الحل الصحيح للبئر المحدودة: في الداخل \(\psi\propto\cos kx\) أو \(\sin kx\)، وفي الخارج \(\psi\propto e^{-\kappa|x|}\). مطابقة الدالة ومشتقتها عند الحافتين تعطي المعادلة المتسامية \(k\tan(kL/2)=\kappa\) للحالات الزوجية. حلها العددي يعطي 3 حالات مقيدة.
- الطاقات: \(E_1\approx\)34.2 meV، \(E_2\approx\)132.6 meV، \(E_3\approx\)271.5 meV. أقل من تقدير الصندوق اللانهائي لأن الدالة تتسرب في الحاجز فيتسع عرضها الفعلي.
- طول موجة الانتقال \(\lambda=hc/(E_2-E_1)\): ≈ 12.60 µm، في الأشعة تحت الحمراء البعيدة. على هذا المبدأ تُصمم مكاشيف الآبار الكمومية بتغيير العرض فقط.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| الليزرات والمكاشيف شبه الموصلة | عرض البئر الكمومية يحدد مستويات الطاقة، فيُختار لون الضوء بالهندسة لا بالمادة وحدها. | GaAs 10 nm: E₁ ≈ 34.2 meV |
| المجهر النفقي الماسح | تيار النفاذ يتناقص أُسياً مع المسافة، فيكشف تضاريس الذرات منفردة. | طول التضاؤل ≈ 0.276 nm |
| ذاكرة الفلاش | تُكتب البيانات بنفاذ الإلكترونات عبر طبقة أكسيد رقيقة. | نفاذية تعتمد أُسياً على السمك |
| الكيمياء الحاسوبية | حل المعادلة تقريبياً للجزيئات يعطي أشكالها وطاقات روابطها وأطيافها. | نظرية دالية الكثافة |
| النقاط الكمومية | حصر الإلكترون في بلورة نانوية يرفع طاقته فيتغير لون الضوء المنبعث بتغير الحجم. | \(E\propto1/L^{2}\) |
| الأطياف الذرية | مستويات الهيدروجين أساس فهم الأطياف والمعايرة في المترولوجيا. | E₁ = -13.5983 eV |
مفاهيم خاطئة شائعة
دالة الموجة موجة مادية يتوزع فيها الإلكترون.
\(\Psi\) أداة لحساب الاحتمالات، وهي مركّبة ولا تُقاس مباشرة. عند القياس يُرصد الإلكترون كاملاً في موضع واحد.
النفاذ الكمومي يخرق حفظ الطاقة.
الطاقة الكلية محفوظة. الجسيم لا «يقترض» طاقة، بل إن دالة موجته غير صفرية داخل الحاجز، وفي قياس داخله تتغير الحالة نفسها.
التكميم خاصية للذرات وحدها.
أي جسيم محصور تتكمّم طاقته، من الإلكترون في بئر شبه موصلة إلى النيوترون في مجال الجاذبية.
المعادلة تتنبأ بنتيجة كل قياس.
تتنبأ بتطور \(\Psi\) بلا عشوائية، أما نتيجة قياس منفرد فلا تعطي إلا احتمالاتها.
أدنى طاقة لجسيم في صندوق هي الصفر.
الحالة الأرضية \(E_1=\pi^{2}\hbar^{2}/2mL^{2}\gt0\). الحصر يفرض زخماً، ولا يستطيع الجسيم أن يسكن تماماً.
أسئلة التقويم
أساسيإلكترون في صندوق لانهائي عرضه 1 nm. ما طاقة الحالة الأرضية؟
أساسيما طول موجة الضوء الذي ينقل الإلكترون من \(n=1\) إلى \(n=2\) في الصندوق نفسه؟
متوسطاحسب طاقة الحالة الأرضية للهيدروجين مع الكتلة المختزلة.
متوسطإلكترون طاقته 0.5 eV يواجه حاجزاً ارتفاعه 1 eV. قارن احتمال النفاذ لعرض 0.5 و1 و2 nm.
متقدمبيّن أن \(\Psi=\psi e^{-iEt/\hbar}\) تعطي كثافة احتمال لا تتغير مع الزمن.
متقدملماذا يكون تقدير الصندوق اللانهائي أعلى من الطاقة الحقيقية للبئر المحدودة؟
المراجع
- البحث الأصليSchrödinger, E. (1926). Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik, 384(4), 361–376. https://doi.org/10.1002/andp.19263840404
- تحقق تجريبيDavisson, C., & Germer, L. H. (1927). Diffraction of electrons by a crystal of nickel. Physical Review, 30(6), 705–740. https://doi.org/10.1103/PhysRev.30.705
- تحقق حديثParthey, C. G., Matveev, A., Alnis, J., Bernhardt, B., Beyer, A., Holzwarth, R., Maistrou, A., Pohl, R., Predehl, K., Udem, T., Wilken, T., Kolachevsky, N., Abgrall, M., Rovera, D., Salomon, C., Laurent, P., & Hänsch, T. W. (2011). Improved measurement of the hydrogen 1S–2S transition frequency. Physical Review Letters, 107(20), 203001. https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.203001
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- كتاب منهجيGriffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press. (Ch. 2)
- كتاب منهجيEisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (2nd ed.). Wiley. (Ch. 5–6)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يحل المعادلة غير المعتمدة على الزمن عددياً بالفروق المنتهية لصندوق ومذبذب وبئر محدودة وذرة هيدروجين، ويقارن بالصيغ المغلقة، ويحسب النفاذ عبر حاجز وتردد انتقال 1S–2S، ثم يرسم دوال الموجة.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the Schrödinger page (shown in section 14)."""
import numpy as np
from scipy.linalg import eigh_tridiagonal
import matplotlib.pyplot as plt
h, e, c = 6.62607015e-34, 1.602176634e-19, 299_792_458.0 # exact
hbar = h / (2 * np.pi)
m_e = 9.1093837015e-31 # CODATA 2018
Ry, a0, Rinf_c, mp_me = 13.605693122994, 5.29177210903e-11, 3.2898419602508e15, 1836.15267343
K = hbar**2 / (2 * m_e) / e * 1e18 # hbar^2/2m_e in eV nm^2
def levels(V, x, m_rel=1.0, k=6):
"""Lowest k eigenpairs of -(hbar^2/2m) psi'' + V psi on interior grid x (nm), psi = 0 beyond the ends."""
dx = x[1] - x[0]; t = K / m_rel / dx**2
return eigh_tridiagonal(V + 2 * t, -t * np.ones(len(x) - 1), select="i", select_range=(0, k - 1))
print(f"hbar^2/2m_e = {K:.6f} eV nm^2")
# infinite well, L = 1 nm
x = np.linspace(0, 1, 4003)[1:-1]
w, _ = levels(np.zeros_like(x), x, k=3)
print("box 1 nm numeric:", np.round(w, 4), " exact:", np.round([n*n*np.pi**2*K for n in (1, 2, 3)], 4))
# harmonic oscillator, hbar*omega = 0.1 eV
x = np.linspace(-12, 12, 6001)
w, _ = levels(0.25 * 0.1**2 / K * x**2, x, k=5)
print("oscillator / (hbar w):", np.round(w / 0.1, 4))
# GaAs quantum well (representative): m* = 0.067, V0 = 0.30 eV, L = 10 nm
x = np.linspace(-30, 30, 6001)
w, v = levels(np.where(np.abs(x) < 5, 0.0, 0.30), x, 0.067, k=6)
bound = w[w < 0.30]
print("GaAs well bound levels (meV):", np.round(bound * 1e3, 1),
f" lambda(2->1) = {h*c/((bound[1]-bound[0])*e)*1e6:.2f} um")
# hydrogen, l = 0, infinite nuclear mass, then reduced-mass 1S-2S frequency
r = np.linspace(0, 40, 40002)[1:-1] * a0 * 1e9
w, _ = levels(-2 * Ry * a0 * 1e9 / r, r, k=2)
print("hydrogen numeric (eV):", np.round(w, 5), " exact:", -Ry, -Ry / 4)
f12 = 0.75 * Rinf_c / (1 + 1 / mp_me)
print(f"1S-2S Schroedinger = {f12:.6e} Hz, measured 2466061413187035 Hz, rel. diff = {(2466061413187035-f12)/2466061413187035:.2e}")
# tunnelling: E = 0.5 eV, V0 = 1 eV
for a in (0.5, 1.0, 2.0):
kap = np.sqrt((1.0 - 0.5) / K)
print(f"barrier {a} nm: T = {1/(1 + np.sinh(kap*a)**2/(4*0.5*0.5)):.3e}")
# Davisson-Germer
lam = h / np.sqrt(2 * m_e * 54 * e)
print(f"54 eV electron: lambda = {lam*1e9:.4f} nm, angle on Ni (d = 0.215 nm) = {np.degrees(np.arcsin(lam/0.215e-9)):.1f} deg")
x = np.linspace(-30, 30, 6001)
V = np.where(np.abs(x) < 5, 0.0, 0.30)
plt.plot(x, V, "k")
for i, E in enumerate(bound):
psi = v[:, i] / np.max(np.abs(v[:, i]))
plt.plot(x, E + 0.04 * psi)
plt.xlim(-12, 12); plt.xlabel("x (nm)"); plt.ylabel("E (eV)"); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
