معادلات ماكسويل للمجال الكهرومغناطيسي
أربع معادلات تصف كل الظواهر الكهرومغناطيسية الكلاسيكية، وتتنبأ بموجات تنتشر بسرعة الضوء.
نص القانون
معادلات ماكسويل أربع معادلات تربط المجال الكهربائي \(\mathbf{E}\) والمجال المغناطيسي \(\mathbf{B}\) بمصدريهما، الشحنة \(\rho\) والتيار \(\mathbf{J}\)، وببعضهما. في الفراغ تُكتب بالصورة التفاضلية:
غاوس للكهرباء:
$$\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$$غاوس للمغناطيسية:
$$\nabla\cdot\mathbf{B}=0$$فاراداي:
$$\nabla\times\mathbf{E}=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}$$أمبير مع تصحيح ماكسويل:
$$\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\mathbf{J}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}$$وبالصورة التكاملية، حيث \(S\) سطح مغلق و\(C\) منحنى مغلق يحدّ السطح \(\Sigma\):
$$\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\mathrm{enc}}}{\varepsilon_0},\qquad\oint_{S}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}=0$$ $$\oint_{C}\mathbf{E}\cdot d\boldsymbol{\ell}=-\frac{d\Phi_B}{dt},\qquad\oint_{C}\mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_0\left(I_{\mathrm{enc}}+\varepsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}\right)$$وتكمّلها معادلة قوة لورنتس \(\mathbf{F}=q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})\) التي تحدد تأثير المجالين في الشحنات. في الأوساط المادية يُستعمل \(\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}\) و\(\mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu\) لعزل الشحنات والتيارات المقيّدة في المادة، فتصبح المعادلتان غير المتجانستين \(\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_f\) و\(\nabla\times\mathbf{H}=\mathbf{J}_f+\partial\mathbf{D}/\partial t\).
المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(\mathbf{E}\) | المجال الكهربائي | V·m⁻¹ | \(\mathsf{M\,L\,T^{-3}\,I^{-1}}\) |
| \(\mathbf{B}\) | المجال المغناطيسي | T | \(\mathsf{M\,T^{-2}\,I^{-1}}\) |
| \(\rho\) | كثافة الشحنة الحرّة | C·m⁻³ | \(\mathsf{I\,T\,L^{-3}}\) |
| \(\mathbf{J}\) | كثافة التيار | A·m⁻² | \(\mathsf{I\,L^{-2}}\) |
| \(\varepsilon_0\) | سماحية الفراغ (مشتقة) | 8.8541878 × 10⁻¹² F·m⁻¹ | \(\mathsf{M^{-1}\,L^{-3}\,T^{4}\,I^{2}}\) |
| \(\mu_0\) | نفاذية الفراغ (مشتقة) | 1.25663706 × 10⁻⁶ N·A⁻² | \(\mathsf{M\,L\,T^{-2}\,I^{-2}}\) |
| \(c\) | سرعة الضوء في الفراغ (مضبوطة) | 299 792 458 m·s⁻¹ | \(\mathsf{L\,T^{-1}}\) |
| \(Z_0\) | ممانعة الفراغ (مشتقة) | 376.730 313 668 Ω | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-2}}\) |
منذ إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات عام 2019 صارت \(c\) و\(h\) و\(e\) مضبوطة بالتعريف، ولم تعد \(\mu_0\) تساوي \(4\pi\times10^{-7}\) تماماً. تُحسب من ثابت البنية الدقيقة المقيس \(\alpha\) بالعلاقة \(\mu_0=2\alpha h/(e^{2}c)\) فتنحرف عن القيمة القديمة بنحو 5.5 × 10⁻¹⁰ نسبياً، ثم تُشتق \(\varepsilon_0=1/(\mu_0c^{2})\) (CODATA 2018).
المعنى الفيزيائي
لكل معادلة قصة مستقلة، وتجتمع الأربع في صورة واحدة هي أن المجالين كيانان فيزيائيان يحملان طاقة وزخماً:
- غاوس للكهرباء: الشحنات مصادر خطوط المجال الكهربائي؛ يبدأ الخط من شحنة موجبة وينتهي عند سالبة. يقابلها قانون كولوم في حالة السكون.
- غاوس للمغناطيسية: لا توجد «شحنات مغناطيسية» معروفة، فخطوط \(\mathbf{B}\) مغلقة دائماً ولا يمكن فصل قطب شمالي عن جنوبي. هذا قيد تجريبي لا اشتقاق له، وأي اكتشاف لأحادي قطب سيغيّر المعادلة.
- فاراداي: المجال المغناطيسي المتغير يولّد مجالاً كهربائياً دوّاماً، وهو أساس المولدات والمحوّلات.
- أمبير–ماكسويل: التيار يولّد مجالاً مغناطيسياً دوّاماً، وكذلك المجال الكهربائي المتغير. الحد \(\mu_0\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t\) هو إضافة ماكسويل، ويسمى تيار الإزاحة.
بدون تيار الإزاحة تتناقض معادلة أمبير مع حفظ الشحنة، لأن تباعد دوّار أي مجال يساوي صفراً. وهو أيضاً ما يجعل الموجات ممكنة: مجال كهربائي متغير يولّد مغناطيسياً متغيراً يولّد كهربائياً، فيحمل كل منهما الآخر في الفراغ دون حاجة إلى شحنات.
الاشتقاق
القانون نفسه فرضية تجريبية، فلا يُشتق. المشتق منه هو التنبؤ بالموجات، وهو ما ميّز ماكسويل. في منطقة خالية من الشحنات والتيارات (\(\rho=0\)، \(\mathbf{J}=0\)):
1. معادلة الموجة
خذ دوّار معادلة فاراداي، ثم عوّض معادلة أمبير–ماكسويل، واستعمل المتطابقة \(\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E})=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{E})-\nabla^{2}\mathbf{E}\) مع \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\):
$$\nabla^{2}\mathbf{E}=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},\qquad\nabla^{2}\mathbf{B}=\mu_0\varepsilon_0\,\frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}$$هذه معادلة موجة سرعتها \(1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\). حين حسب ماكسويل هذه السرعة من قياسات كهربائية ومغناطيسية بحتة وجدها مطابقة لسرعة الضوء المقيسة، فاستنتج أن الضوء موجة كهرومغناطيسية:
$$c=\frac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=299 792 458\ \mathrm{m\,s^{-1}}$$2. الموجة المستوية
الحل الذي ينتشر في اتجاه \(z\) مستقطباً على المحور \(x\):
$$\mathbf{E}=E_0\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf{x}},\qquad\mathbf{B}=\frac{E_0}{c}\cos(kz-\omega t)\,\hat{\mathbf{y}},\qquad\omega=ck$$فاراداي وأمبير–ماكسويل تعطيان أن \(\mathbf{E}\) و\(\mathbf{B}\) متعامدان وعموديان على اتجاه الانتشار، وفي الطور نفسه، وأن \(E_0/B_0=c\). أما \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\) فتمنع الاستقطاب الطولي.
3. الطاقة والزخم
من المعادلتين الدوّارتين يخرج قانون حفظ الطاقة (نظرية بوينتنغ): كثافة الطاقة \(u=\tfrac12\varepsilon_0E^{2}+\tfrac{1}{2\mu_0}B^{2}\)، وتدفقها \(\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0\). للموجة المستوية يكون المتوسط الزمني:
$$\langle S\rangle=\tfrac12\varepsilon_0cE_0^{2},\qquad\langle u\rangle=\tfrac12\varepsilon_0E_0^{2},\qquad\langle S\rangle=c\,\langle u\rangle$$4. في وسط موصل
بإضافة \(\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}\) وبمعامل نفاذية \(\mu\) وسماحية \(\varepsilon\) يصبح عدد الموجة مركباً بمعادلة التشتت:
$$k^{2}=\mu\varepsilon\omega^{2}+i\,\mu\sigma\omega$$الجزء التخيلي من \(k\) يسبب الاضمحلال \(e^{-z/\delta}\) بعمق اختراق \(\delta=1/\operatorname{Im}k\). وعندما \(\sigma\gg\omega\varepsilon\) (موصل جيد) يصبح \(k\approx(1+i)/\delta\) مع \(\delta=\sqrt{2/\omega\mu\sigma}\)، ويتأخر \(\mathbf{B}\) عن \(\mathbf{E}\) بزاوية \(45^{\circ}\).
السياق التاريخي
جاءت المعادلات حصيلة قرن من الاكتشافات المنفصلة. كان كل قانون منها معروفاً قبل ماكسويل في صورة تجريبية، وأضاف هو الجزء الذي جعل المجموعة متسقة ثم تنبأت بالموجات.
- 1785كولوم يقيس قوة التجاذب بين الشحنات، ومنه يأتي قانون غاوس للكهرباء.
- 1820أورستد يكتشف أن التيار يحرف إبرة البوصلة، فتبدأ الصلة بين الكهرباء والمغناطيسية.
- 1831فاراداي يكتشف الحث الكهرومغناطيسي، وهو أصل معادلة فاراداي.
- 1857فيبر وكولراوش ينشران قياس نسبة وحدات الكهرباء الساكنة إلى الكهرومغناطيسية فيجدانها قريبة من سرعة الضوء، نحو 3.1 × 10⁸ m/s.
- 1861–62ماكسويل يضيف تيار الإزاحة في بحثه «On physical lines of force»، ويستنتج أن الضوء اضطراب كهرومغناطيسي.
- 1865ماكسويل ينشر «نظرية ديناميكية للمجال الكهرومغناطيسي» ويستخرج معادلة الموجة وسرعتها. صاغ في هذا البحث عشرين معادلة بمركبات المجالات.
- 1873صدور «رسالة في الكهرباء والمغناطيسية» لماكسويل بالصياغة الأوسع.
- 1884–85هيفيسايد وغيبس يختزلان النظام إلى أربع معادلات متجهية، وهي الصورة المستعملة اليوم.
- 1887–88هرتز يولّد موجات كهرومغناطيسية ويكشفها في المعمل ويقيس سرعتها، فيتحقق تنبؤ ماكسويل بعد وفاته.
- 1905آينشتاين يبيّن أن المعادلات لا تتغير شكلاً بتحويلات لورنتس لا غاليليو، فتنشأ النسبية الخاصة.
- 2019إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات: \(c\) مضبوطة و\(\mu_0\) و\(\varepsilon_0\) مشتقتان من \(\alpha\).
حدود الصلاحية
ما تصفه المعادلات بدقة
المعادلات صحيحة في الكهرومغناطيسية الكلاسيكية من التيارات المستمرة حتى الأشعة السينية، وتتعامل مع المجالين متصلين. وهي نسبية في صيغتها نفسها: لا تحتاج إلى تصحيح عند السرعات العالية.
حدودها
- الكمّ: عند شدات ضعيفة جداً أو ترددات عالية جداً يظهر الطابع الفوتوني. تصفه الكهروديناميكا الكمومية (QED) التي تعيد معادلات ماكسويل نهايةً كلاسيكية. ومن آثارها تبعثر الضوء بالضوء في الفراغ، وهو غائب كلياً في معادلات ماكسويل الخطية.
- الأوساط: العلاقات \(\mathbf{D}=\varepsilon\mathbf{E}\) و\(\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}\) تقريب خطي. في المجالات الشديدة تظهر لاخطية مثل مضاعفة التردد، وفي المواد الحقيقية \(\varepsilon\) و\(\sigma\) تتغيران مع التردد (تشتت)، فتحتاج القيم إلى إعادة قياس عند كل نطاق.
- غياب الأحادي المغناطيسي: \(\nabla\cdot\mathbf{B}=0\) نتيجة تجريبية. إن وُجد أحادي قطب فستتعدل المعادلة وتُضاف كثافة شحنة مغناطيسية.
- كتلة الفوتون: المعادلات تفترض فوتوناً عديم الكتلة. القيد التجريبي الأفضل في قوائم مجموعة بيانات الجسيمات نحو 10⁻¹⁸ eV، فهي تصلح ضمن هذه الدقة.
تعرض المحاكاة في القسم 7 كيف يتغير سلوك الموجة بين عازل جيد وموصل جيد بتغيير \(\varepsilon_r\) و\(\sigma\) والتردد.
المحاكاة التفاعلية
موجة مستوية تنتشر في وسط تختار أنت خصائصه: التردد والسماحية النسبية \(\varepsilon_r\) والنفاذية النسبية \(\mu_r\) والتوصيلية \(\sigma\). كل رقم محسوب من معادلة التشتت \(k^{2}=\mu\varepsilon\omega^{2}+i\mu\sigma\omega\) وليس من تقريب، فتراها تنتقل من موجة عازل إلى اضمحلال موصل. ابدأ بالقوالب الجاهزة ثم غيّر قيمة واحدة.
- الطول الموجي \(\lambda=2\pi/\operatorname{Re}k\)
- —
- سرعة الطور \(v=\omega/\operatorname{Re}k\)
- —
- عمق الاختراق \(\delta=1/\operatorname{Im}k\)
- —
- ظل الفقد \(\sigma/\omega\varepsilon\)
- —
- الممانعة \(|\eta|=|E/H|\)
- —
- النسبة \(E_0/B_0\) وتأخر \(B\) عن \(E\)
- —
كل مجال مرسوم بمقياسه الخاص وسعته الابتدائية واحدة، فالنسبة الفعلية بين السعتين في اللوحة أعلاه. المحور الأفقي هو المسافة \(z\). مواد الأمثلة الجاهزة تعامل \(\varepsilon_r\) و\(\sigma\) ثابتتين عند التردد المختار؛ في المادة الحقيقية تتغيران مع التردد.
التحقق التجريبي
التجارب التاريخية الحاسمة
أكثر التجارب حسماً هي تجارب هرتز بين 1887 و1888. ولّد شرارة بين كرتين معدنيتين في دائرة مهتزة فأرسلت الدائرة موجات كهرومغناطيسية، وكشفها بحلقة صغيرة فيها فجوة تُرى فيها شرارة ضعيفة على بعد أمتار. أقام موجات واقفة بعد انعكاسها على لوح من الزنك، وقاس المسافة بين العقد ليستخرج الطول الموجي، ثم ضربه في التردد المعروف ليجد السرعة، فوجدها قريبة من سرعة الضوء. أثبت أيضاً أن للموجات انعكاساً وانكساراً واستقطاباً مثل الضوء.
أما اليوم فالاختبارات غير مباشرة ودقيقة: اتساق الاتصالات والرادار والملاحة، وتأكيد أن الفوتون عديم الكتلة تقريباً بقيد أصغر من 10⁻¹⁸ eV (مجموعة بيانات الجسيمات)، ودقة مقياس \(\alpha\) التي تحدد \(\mu_0\) نفسها.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: قياس سرعة الضوء بفرن ميكروويف
الإعداد: فرن ميكروويف تردده المكتوب على لوحته 2.45 GHz، وطبق زجاجي أو بلاستيكي، وقطعة شوكولاتة أو جبن أو معجون خبز كمؤشر حراري، ومسطرة. لا تعتمد التجربة على قيم نظرية لـ\(c\).
- انزع الطبق الدوّار حتى لا يدور الغذاء، وضع طبقة المؤشر على طبق ثابت.
- شغّل الفرن مدة قصيرة (نحو 20 ثانية) حتى تظهر بقع ذائبة، ثم أطفئه وأخرج الطبق.
- قِس المسافة بين مركزي بقعتين ذائبتين متجاورتين. هذه نصف الطول الموجي \(\lambda/2\) لأن الموجة الواقفة لها بطون متباعدة بنصف طول موجي.
- كرّر القياس بين عدة بقع، وخذ المتوسط والانحراف المعياري.
- احسب \(c=f\lambda=2f\,d\) وقارنها بالقيمة المقبولة، متوقعاً \(d\approx6.12\ \mathrm{cm}\).
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- التردد الحقيقي: المصنّعون يعطون تردداً اسمياً، والتردد الفعلي للمغنطرون قد يختلف بنحو واحد بالمئة أو أكثر ويتأرجح مع الحمل.
- الطول الموجي داخل الغذاء: المسافة المقيسة على الشوكولاتة تفترض موجة واقفة في هواء الفرن؛ الوسط ذو \(\varepsilon_r\) أعلى يقصّر الطول الموجي، فاستعمل طبقة رقيقة.
- التسخين غير المنتظم: مدة تسخين طويلة توسّع البقع وتخفي المراكز؛ حدّد المركز عند أقصى ذوبان.
- الأنماط المتعددة: الفرن تجويف يحوي أنماطاً متداخلة، فقد تظهر بقع لا تنتمي إلى النمط الرئيسي.
مثال محلول: الحقول في ضوء الشمس وضغطه
الإشعاع الشمسي عند الأرض S = 1361 W/m² (القيمة الاسمية المعتمدة). اعتبره موجة مستوية في الفراغ واحسب سعتي المجالين وكثافة الطاقة وضغط الإشعاع على سطح ماص وعاكس.
- سعة المجال الكهربائي من \(\langle S\rangle=\tfrac12\varepsilon_0cE_0^{2}\): $$E_0=\sqrt{\frac{2S}{\varepsilon_0c}}=\sqrt{\frac{2\times1361}{8.8541878128\times10^{-12}\times299 792 458}}$$ ≈ 1013 V/m
- سعة المجال المغناطيسي من \(B_0=E_0/c\): ≈ 3.38 µT، أي نحو عُشر المجال المغناطيسي الأرضي المجاور للسطح.
- كثافة الطاقة المتوسطة \(\langle u\rangle=\langle S\rangle/c\): ≈ 4.54 µJ/m³.
- ضغط الإشعاع على سطح يمتص كل الموجة \(P=\langle S\rangle/c\): ≈ 4.54 µPa، ويتضاعف إلى 9.08 µPa على مرآة مثالية تعكس الموجة. صغير جداً لكنه يكفي لتحريك الأشرعة الشمسية في الفضاء.
- المقارنة مع المجال الذي يولّده تيار الإزاحة: مكثف لوحاه دائريان نصف قطرهما 5 cm يُشحن بتيار 1 A. التيار «يعبر» الفجوة بين اللوحين مجالاً متغيراً \(\partial E/\partial t=1.44\times10^{13}\ \mathrm{V\,m^{-1}\,s^{-1}}\)، فيولّد عند حافة اللوح مجالاً مغناطيسياً \(B=\mu_0I/2\pi R=\)4.00 µT، وهو المجال نفسه الذي يولّده سلك ناقل للتيار نفسه.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| الراديو والاتصالات | الهوائي مصدر لمجال متغير؛ الطول الموجي \(\lambda=c/f\) يحدد حجم الهوائي وسلوك الانتشار. | 100 MHz → 2.998 m |
| فرن الميكروويف | موجة في تجويف معدني تُسخّن الجزيئات القطبية في الغذاء عبر فقدها الكهربائي. | 2.45 GHz → 12.24 cm |
| الحجب والكابلات | عمق الاختراق يحدد سمك الدروع المعدنية؛ وبسببه يُجمَّع التيار قرب سطح الموصل عند الترددات العالية. | Cu, 1 MHz → 65.2 µm |
| الاتصال بالغواصات | ماء البحر موصل يُخمد الموجات سريعاً، فتُستعمل ترددات منخفضة جداً لتخترقه. | 10 kHz → 2.52 m |
| الألياف والعدسات | \(n=\sqrt{\varepsilon_r\mu_r}\) يحكم سرعة الضوء في الوسط وانكساره وانعكاسه عند الحدود. | n = 1.5 → v = 1.999\times10^{8} m/s |
| الطاقة الشمسية | تدفق بوينتنغ للضوء هو ما تستقبله الألواح، وكثافة الطاقة تحدد الضغط على الأشرعة. | 1361 W/m² → 1013 V/m |
مفاهيم خاطئة شائعة
ماكسويل كتب المعادلات الأربع بالشكل المتجهي المألوف.
الصورة الحديثة من صياغة هيفيسايد وغيبس بعد وفاته، أما ماكسويل في بحث 1865 فكتب عشرين معادلة بمركبات المجالات ومتغيرات إضافية.
تيار الإزاحة تيار حقيقي من شحنات تتحرك عبر الفراغ.
لا شحنات تعبر. هو الحد \(\varepsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t\)، ويولّد مجالاً مغناطيسياً كما يفعل التيار. قيمته في مكثف تساوي التيار الذي يشحنه.
في الموجة الكهرومغناطيسية يبلغ \(E\) قيمته الصغرى حين يبلغ \(B\) العظمى، كما في دائرة LC.
في الفراغ يبلغان قيمتيهما العظمى معاً ويصفران معاً، أي في الطور نفسه، ونسبة السعتين تساوي \(c\). الشائع في الدوائر المهتزة لا في الموجة المنتشرة.
لـ\(\mu_0\) قيمة مضبوطة تساوي \(4\pi\times10^{-7}\).
كان ذلك صحيحاً قبل 2019. اليوم \(\mu_0=1.25663706212\times10^{-6}\ \mathrm{N\,A^{-2}}\) قيمة مشتقة من \(\alpha\) المقيس، وتنحرف عن \(4\pi\times10^{-7}\) بنحو 5.5 × 10⁻¹⁰ نسبياً، بينما \(c\) هي المضبوطة.
الموجات الكهرومغناطيسية تحتاج وسطاً مادياً تنتشر فيه.
المعادلات تعطي الموجة في الفراغ بسرعة \(c\) دون وسط. فكرة «الأثير» سقطت بعد تجربة ميكلسون ومورلي وبعد النسبية الخاصة.
أسئلة التقويم
أساسيإذا كان تردد محطة FM هو 100 MHz، فما طول موجتها في الهواء؟
أساسيلماذا تتطلب معادلة أمبير تصحيح ماكسويل عند شحن مكثف؟
متوسطموجة ضوئية طولها 550 nm في الفراغ تدخل زجاجاً معامل انكساره 1.5. ما سرعتها وطولها الموجي فيه؟ وماذا يحدث لترددها؟
متوسطاحسب عمق الاختراق في النحاس عند 50 Hz وعند 1 MHz، وعلّق على سلك ناقل بقطر 1 cm.
متقدماشتق معادلة الموجة من معادلتي فاراداي وأمبير–ماكسويل، وبيّن لماذا يلزم \(\nabla\cdot\mathbf{E}=0\).
متقدمفي ماء البحر (\(\varepsilon_r=81\)، \(\sigma=4\ \mathrm{S\,m^{-1}}\)) عند 1 MHz، هل هو عازل أم موصل؟ وما عمق الاختراق؟
المراجع
- البحث الأصليMaxwell, J. C. (1865). A dynamical theory of the electromagnetic field. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 155, 459–512. https://doi.org/10.1098/rstl.1865.0008
- تجريبيHertz, H. (1888). Ueber die Ausbreitungsgeschwindigkeit der electrodynamischen Wirkungen. Annalen der Physik, 270(7), 551–569. https://doi.org/10.1002/andp.18882700708
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- تحقق حديثWorkman, R. L., et al. (Particle Data Group). (2022). Review of particle physics. Progress of Theoretical and Experimental Physics, 2022(8), 083C01. https://doi.org/10.1093/ptep/ptac097
- كتاب منهجيGriffiths, D. J. (2017). Introduction to electrodynamics (4th ed.). Cambridge University Press. (Ch. 7 and 9)
- كتاب منهجيJackson, J. D. (1999). Classical electrodynamics (3rd ed.). Wiley. (Ch. 6 and 7)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يعيد حساب أرقام الصفحة: ثوابت الفراغ من \(\alpha\)، وعدد الموجة المركب في أي وسط، وعمق الاختراق، وحقول ضوء الشمس، ثم يتحقق من أن الموجة تحقق معادلتي فاراداي وأمبير–ماكسويل بفروق منتهية ويرسم الحقلين.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the Maxwell page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# SI 2019 exact constants; alpha is the measured fine-structure constant (CODATA 2018)
h, e, c = 6.62607015e-34, 1.602176634e-19, 299_792_458.0
alpha = 7.2973525693e-3
mu0 = 2 * alpha * h / (e**2 * c) # no longer exactly 4*pi*1e-7
eps0 = 1 / (mu0 * c**2)
Z0 = mu0 * c
def medium(f, eps_r=1.0, mu_r=1.0, sigma=0.0):
"""Plane wave ~ exp[i(kz - wt)]: k^2 = mu*eps*w^2 + i*mu*sigma*w, Im k >= 0 (decay)."""
w = 2 * np.pi * f
mu, ep = mu0 * mu_r, eps0 * eps_r
re, im = mu * ep * w**2, mu * sigma * w
kr = np.sqrt((np.hypot(re, im) + re) / 2)
ki = im / (2 * kr)
return dict(w=w, k=kr + 1j * ki, lam=2 * np.pi / kr, v=w / kr,
delta=1 / ki if ki > 0 else np.inf, eta=w * mu / (kr + 1j * ki))
print(f"mu0 = {mu0:.12e} N/A^2 (4*pi*1e-7 = {4e-7*np.pi:.12e})")
print(f"eps0 = {eps0:.11e} F/m")
print(f"Z0 = {Z0:.9f} ohm c = {1/np.sqrt(mu0*eps0):.0f} m/s")
# sunlight as a plane wave
S = 1361.0
E0 = np.sqrt(2 * S / (eps0 * c))
print(f"S = {S:.0f} W/m^2 -> E0 = {E0:.0f} V/m, B0 = {E0/c*1e6:.2f} uT, "
f"u = {S/c*1e6:.2f} uJ/m^3, P = {S/c*1e6:.2f} uPa (absorber)")
# skin depth: copper, seawater
sigma_cu = 5.96e7
for f in (50, 1e6, 1e8):
print(f"copper {f:>9.0f} Hz: delta = {medium(f, sigma=sigma_cu)['delta']*1e6:10.2f} um")
for f in (1e4, 1e6):
m = medium(f, 81, 1, 4.0)
print(f"seawater {f:>7.0f} Hz: delta = {m['delta']:.3f} m, sigma/(w*eps) = {4.0/(m['w']*81*eps0):.0f}")
# glass at 550 nm
g = medium(c / 550e-9, 1.5**2)
print(f"glass n=1.5: v = {g['v']:.4e} m/s, lambda = {g['lam']*1e9:.1f} nm, |eta| = {abs(g['eta']):.1f} ohm")
# check: the solution satisfies Faraday and Ampere-Maxwell (finite differences, lossy dielectric)
m = medium(1e6, 6.0, 1.5, 0.8); w, k = m["w"], m["k"]
Ex = lambda z, t: np.real(np.exp(1j * (k * z - w * t)))
By = lambda z, t: np.real((k / w) * np.exp(1j * (k * z - w * t)))
z0, t0 = 0.3 * m["lam"], 1e-7
dz, dt = m["lam"] * 1e-5, 1e-11
faraday = (Ex(z0 + dz, t0) - Ex(z0 - dz, t0)) / (2 * dz) + (By(z0, t0 + dt) - By(z0, t0 - dt)) / (2 * dt)
print(f"Faraday residual: {faraday:.2e} (compare dE/dz ~ {abs(k):.2e})")
# plot E and B of a wave in a good conductor
mm = medium(1e6, 1, 1, sigma_cu); z = np.linspace(0, 5 * mm["delta"], 800)
E = np.exp(-z / mm["delta"]) * np.cos(np.real(mm["k"]) * z)
Bf = np.exp(-z / mm["delta"]) * np.cos(np.real(mm["k"]) * z + np.angle(mm["k"]))
plt.plot(z * 1e6, E, label="E"); plt.plot(z * 1e6, Bf, "--", label="B (lags 45 deg)")
plt.xlabel("z (um)"); plt.title("copper, 1 MHz"); plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
