قانون الجذب العام لنيوتن
كل كتلتين تتجاذبان بقوة تتناسب مع حاصل ضربهما وعكسياً مع مربع المسافة بينهما، ومنها تُستنتج قوانين كبلر ومدارات الأقمار الصناعية.
نص القانون
كل جسيمين في الكون يتجاذبان بقوة تقع على الخط الواصل بينهما، مقدارها يتناسب طردياً مع حاصل ضرب كتلتيهما وعكسياً مع مربع المسافة بينهما:
$$F=G\,\frac{m_1m_2}{r^{2}}$$وبالصيغة المتجهة، القوة التي يؤثر بها الجسم 1 في الجسم 2 هي \(\vec F_{21}=-G\,m_1m_2\,\hat r_{12}/r^{2}\)، حيث \(\hat r_{12}\) متجه وحدة من 1 إلى 2، والإشارة السالبة تعني أنها قوة تجاذب. والقوتان متساويتان ومتعاكستان، كما يقتضي القانون الثالث.
المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(F\) | قوة التجاذب | N | \(\mathsf{M\,L\,T^{-2}}\) |
| \(G\) | ثابت الجذب العام | 6.67430 × 10⁻¹¹ N·m²·kg⁻² | \(\mathsf{M^{-1}\,L^{3}\,T^{-2}}\) |
| \(m_1,\ m_2\) | الكتلتان | kg | \(\mathsf{M}\) |
| \(r\) | المسافة بين المركزين | m | \(\mathsf{L}\) |
| \(g\) | شدة مجال الجاذبية | N·kg⁻¹ = m·s⁻² | \(\mathsf{L\,T^{-2}}\) |
| \(GM\) | GM للجسم المركزي | m³·s⁻² | \(\mathsf{L^{3}\,T^{-2}}\) |
| \(v_c,\ v_e\) | السرعة الدائرية والإفلات | m·s⁻¹ | \(\mathsf{L\,T^{-1}}\) |
| \(T,\ a\) | الدورة ونصف المحور | s ، m | \(\mathsf{T},\ \mathsf{L}\) |
\(G=6.67430\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\) (CODATA 2018)، وعدم يقينه النسبي نحو 22 ppm، وهو أقل الثوابت الأساسية دقة. أما حاصل الضرب \(GM\) للأرض والشمس فيُعرف من حركة الأقمار والكواكب بدقة أعلى بكثير.
المعنى الفيزيائي
جمع نيوتن في قانون واحد سقوط الأجسام على الأرض وحركة القمر والكواكب. المعنى الأساسي ثلاث نقاط:
- عمومية: القوة نفسها تؤثر بين أي كتلتين، تفاحة أو قمر أو مجرة. الذي يختلف هو المقادير فقط.
- التربيع العكسي: إذا تضاعفت المسافة صارت القوة ربع ما كانت. هذا الشكل بالذات هو الذي يجعل مدارات الكواكب قطوعاً ناقصة مغلقة، كما وجدها كبلر.
- ضعف شديد: كتلتان من 1 kg على بعد 1 m تتجاذبان بقوة \(6.67\times10^{-11}\ \mathrm{N}\) فقط. نشعر بالجاذبية لأن الأرض هائلة الكتلة، ولأن الكتل كلها موجبة فلا يلغي بعضها بعضاً كما تفعل الشحنات.
ومن القانون يأتي أن الجسم الكروي المتناظر يجذب ما خارجه كأن كتلته كلها في مركزه. لهذا تُحسب شدة الجاذبية على سطح الأرض من \(g=GM/R^{2}\).
الاشتقاق
1. من قانون كبلر الثالث إلى التربيع العكسي
لمدار دائري نصف قطره \(r\) وزمنه \(T\)، التسارع المركزي \(a=4\pi^{2}r/T^{2}\). ووجد كبلر أن \(T^{2}\propto r^{3}\) لكل الكواكب، فيكون:
$$a=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}\propto\frac{r}{r^{3}}=\frac{1}{r^{2}}$$أي أن القوة التي تُبقي الكوكب في مداره تتناقص مع مربع البعد عن الشمس.
2. التناسب مع الكتلتين
كل الأجسام تسقط بالتسارع نفسه في المكان نفسه، فالقوة على الجسم تتناسب مع كتلته. وبالقانون الثالث يجب أن تكون متماثلة بين الجسمين، فتتناسب مع كتلة كل منهما: \(F\propto m_1m_2/r^{2}\)، وثابت التناسب هو \(G\).
3. مبرهنة القشرة
بجمع قوى حلقات رقيقة على قشرة كروية منتظمة كتلتها \(M\) يتبين أنها تجذب جسيماً خارجها بقوة \(GMm/r^{2}\) كأن كتلتها في مركزها، ولا تجذب جسيماً داخلها إطلاقاً. والكرة طبقات من القشور، فتنطبق النتيجة عليها.
4. المدارات وقانون كبلر الثالث العام
بحل معادلة الحركة \(\ddot{\vec r}=-G(M+m)\,\vec r/r^{3}\) تكون المدارات قطوعاً مخروطية، ويتحدد نوعها من الطاقة الكلية: سالبة لقطع ناقص، وصفر لقطع مكافئ، وموجبة لقطع زائد. ولقطع ناقص نصف محوره الأكبر \(a\):
$$T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{G(M+m)}\,a^{3},\qquad v^{2}=GM\Big(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\Big)$$والمعادلة الثانية (معادلة الطاقة) تعطي السرعة الدائرية \(v_c=\sqrt{GM/r}\) عند \(a=r\)، وسرعة الإفلات \(v_e=\sqrt{2GM/r}\) عند \(a\to\infty\).
السياق التاريخي
جمع نيوتن أرصاد الفلكيين وتجارب السقوط في نظرية رياضية واحدة، ثم احتاج العلماء أكثر من قرن ليقيسوا الثابت \(G\) في المختبر.
- 1609كبلر ينشر قانونيه الأول والثاني من أرصاد تيخو براهي للمريخ، ثم الثالث في 1619.
- 1638غاليليو ينشر أن الأجسام تسقط بتسارع واحد مهما اختلفت كتلها، إذا أُهملت مقاومة الهواء.
- 1684هالي يسأل نيوتن عن شكل المدار تحت قوة تتناسب عكسياً مع مربع البعد، فيرسل نيوتن برهاناً بأنه قطع ناقص.
- 1687نيوتن ينشر «المبادئ الرياضية للفلسفة الطبيعية»، وفي الكتاب الثالث يقارن تسارع القمر بالجاذبية على سطح الأرض، ويعمم القانون على الكواكب.
- 1798كافنديش يقيس التجاذب بين كرات من الرصاص بميزان الليّ، ويحسب منه كثافة الأرض: 5.48 مرة كثافة الماء. ومنه عُرف \(G\) لاحقاً.
- 1846لوفيرييه وآدمز يحسبان موضع كوكب مجهول من اضطراب مدار أورانوس، فيُرصد نبتون قرب الموضع المتوقع.
- 2018فريق صيني يقيس \(G\) بطريقتين مستقلتين بميزان الليّ، بعدم يقين نحو 12 ppm لكل منهما.
حدود الصلاحية
- المجالات القوية والسرعات العالية: قرب الأجسام شديدة الكثافة أو عند سرعات قريبة من سرعة الضوء تحل النسبية العامة محل قانون نيوتن. أشهر مثال: مدار عطارد يدور بمقدار 43″ في القرن زيادة عما يحسبه نيوتن مع اضطرابات الكواكب الأخرى.
- الانتشار اللحظي: القانون يفترض أن القوة تنتقل فوراً، أما في النسبية العامة فتنتشر التغيرات بسرعة الضوء، كما أكدت موجات الجاذبية.
- الأجسام غير الكروية: مبرهنة القشرة تنطبق على التوزيع الكروي فقط. تفلطح الأرض يجعل \(g\) عند القطب 9.864 m/s² وعند خط الاستواء 9.798 m/s² قبل حساب الدوران.
- المسافات القصيرة جداً: اختُبر التربيع العكسي حتى عشرات الميكرومترات دون انحراف. ما تحت ذلك مجال بحث نشط.
- المجرات: سرعات دوران أطرافها أكبر مما تعطيه الكتلة المرئية مع قانون نيوتن، وهذا من أدلة المادة المظلمة.
في المحاكاة في القسم 7 يمكن تغيير الأس 2 قليلاً، فيظهر أن المدار المغلق يحتاج التربيع العكسي بالضبط.
المحاكاة التفاعلية
أطلق قمراً صناعياً أفقياً من ارتفاع تختاره، بسرعة تُقاس بالنسبة إلى السرعة الدائرية. تحسب المحاكاة المسار بتكامل عددي لمعادلة الحركة، وتعرض نوع المدار وزمنه وأبعد نقطة وأقربها. ويمكنك تغيير أس المسافة في القانون لترى ماذا يحدث لو لم يكن 2.
- السرعة الدائرية \(v_c\)
- —
- سرعة الإطلاق
- —
- سرعة الإفلات \(v_e\)
- —
- نوع المسار
- —
- زمن الدورة
- —
- أقرب ارتفاع وأبعده
- —
- دوران المدار في كل دورة
- —
- الجاذبية عند الإطلاق نسبةً إلى السطح
- —
التسارع \(a=g_0(R/r)^{k}\) بحيث تبقى الجاذبية على السطح كما هي، و\(k=2\) هو قانون نيوتن. المسار بتكامل فيرليه العددي بخطوة تصغر قرب الجسم، لثلاث دورات أو حتى الاصطدام أو الابتعاد. قيم \(GM\) ونصف القطر الاستوائي اسمية من الاتحاد الفلكي الدولي (2015)، ويُهمل الغلاف الجوي وتفلطح الكوكب. زمن الدورة من نصف المسافة بين أقرب نقطة وأبعدها مع قانون كبلر عند \(k=2\)، ومن التكامل نفسه عند غيره.
التحقق التجريبي
التجارب الحاسمة
أول قياس مخبري للتجاذب بين كتل عادية كان تجربة كافنديش: ميزان ليّ يحمل كرتين صغيرتين، وكرتان كبيرتان من الرصاص تقتربان منهما فيدور الميزان زاوية صغيرة. من هذه الزاوية ومن زمن تذبذب الميزان تُحسب القوة. والأدق اليوم قياسات مثل قياس لي وزملائه (2018) بطريقتين: زمن التذبذب أعطى \(G=6.674184\times10^{-11}\) وطريقة التسارع الزاوي أعطت \(6.674484\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^{2}\,kg^{-2}}\). والفرق بينهما أكبر من عدم يقين كل منهما، وهذا يبين صعوبة قياس \(G\).
وعلى المقاييس الفلكية يتحقق القانون كل يوم: من مدارات الأقمار الصناعية إلى اكتشاف نبتون، إلى قانون كبلر الثالث الذي يعطي طول السنة النجمية 365.256 d من قيمة \(GM\) للشمس ونصف المحور \(1\ \mathrm{au}\).
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: ميزان كافنديش
الإعداد: ميزان ليّ تعليمي (كرتان صغيرتان من الرصاص نحو 38 g على ذراع خفيفة معلقة بسلك تنغستن رفيع، وكرتان كبيرتان نحو 1.5 kg)، وليزر ومسطرة على حائط بعيد لتكبير الزاوية.
- اترك الميزان يستقر ساعات بعيداً عن التيارات الهوائية والاهتزاز، وسجل موضع بقعة الليزر.
- أدِر الكرتين الكبيرتين إلى الموضع الأول وسجل موضع البقعة كل 15 s حتى يتضح التذبذب ثم يخمد، ثم إلى الموضع المقابل وكرر.
- من زمن التذبذب \(T\) احسب ثابت الليّ \(\kappa=4\pi^{2}I/T^{2}\)، ومن فرق موضعي الاتزان احسب الزاوية \(\Delta\theta\).
- عزم الجذب \(2F\,d=\kappa\,\Delta\theta/2\) لذراع نصف طولها \(d\)، و\(F=GMm/b^{2}\) لمسافة المركزين \(b\)، فاحسب \(G\).
القوة المقيسة نحو \(1.8\times10^{-9}\ \mathrm{N}\) لمسافة 46.5 mm بين المركزين، أي جزء من نحو \(5\times10^{-9}\) من وزن الكرة الصغيرة.
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- جذب الكرة الكبيرة للكرة البعيدة وللذراع: يقلل العزم الصافي بنسبة صغيرة، ويلزم تصحيح هندسي.
- الانجراف الحراري والتيارات الهوائية: يحركان موضع الاتزان ببطء. قِس وقتاً كافياً وطرح الانجراف الخطي.
- المسافة بين المراكز: القوة تتناسب مع \(1/b^{2}\)، فخطأ 1% في \(b\) خطأ 2% في \(G\).
- المغناطيسية والكهرباء الساكنة: أي شحنة على الكرات أو أداة معدنية قريبة تعطي قوى أكبر من الجاذبية.
مثال محلول: اختبار القمر عند نيوتن
هل القوة التي تُسقط الأجسام على الأرض هي التي تُبقي القمر في مداره؟ القمر على بعد متوسط 384 399 km ويدور دورة نجمية كل 27.32 d.
- التسارع المركزي للقمر من حركته: $$a_{\text{kin}}=\frac{4\pi^{2}r}{T^{2}}=2.72\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}$$
- بعد القمر نحو \(60.3\) نصف قطر أرضي (متوسط نصف القطر 6371.0 km)، فالتربيع العكسي يتنبأ بأن تكون الجاذبية هناك أضعف من السطح بنحو 3640 مرة.
- من قيمة \(GM\) للأرض مباشرة: \(GM/r^{2}=2.70\times10^{-3}\ \mathrm{m/s^{2}}\).
- القيمتان تتفقان ضمن 1.0%. الفرق الصغير سببه أن القمر والأرض يدوران معاً حول مركز كتلتهما (فالصحيح \(G(M+m)\))، وتأثير الشمس في مدار القمر.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| الأقمار الصناعية القريبة | السرعة الدائرية وزمن الدورة يحددان تصميم المدار. | 400 km: 7.67 km/s, 92.6 min |
| الاتصالات والطقس | المدار الذي زمنه يوم نجمي يبقى فوق نقطة ثابتة من خط الاستواء. | h = 35 786 km |
| إطلاق المركبات | طاقة الوضع \(-GMm/r\) تحدد سرعة الإفلات والطاقة اللازمة. | 11.18 km/s |
| وزن الكواكب والنجوم | من زمن دورة قمر ونصف قطر مداره يُحسب \(GM\)، ومنه الكتلة. | M☉ = 1.988 × 10³⁰ kg |
| الجيوفيزياء والتنقيب | فروق صغيرة في \(g\) تكشف كثافة الصخور والمعادن تحت السطح. | ρ⊕ = 5.51 g/cm³ |
| الاستكشاف بين الكواكب | المرور قرب كوكب كبير يغيّر سرعة المركبة دون وقود. | vₑ (المشتري) = 59.5 km/s |
مفاهيم خاطئة شائعة
لا جاذبية في الفضاء، ولهذا يطفو رواد الفضاء.
على ارتفاع 400 km الجاذبية نحو 89% من قيمتها على السطح. الرواد يطفون لأنهم في سقوط حر مع المحطة.
الأرض تجذب التفاحة أكثر مما تجذب التفاحة الأرض.
القوتان متساويتان بالقانون الثالث. الفرق في التسارع، لأن كتلة الأرض \(5.972\times10^{24}\ \mathrm{kg}\).
الأجسام الثقيلة تسقط أسرع.
القوة تتناسب مع الكتلة، فيبقى التسارع \(GM/r^{2}\) واحداً للجميع إذا أُهملت مقاومة الهواء.
القمر يدور لأنه خارج جاذبية الأرض.
القمر يسقط نحو الأرض باستمرار، لكن سرعته الجانبية تجعله يدور حولها بدل أن يصطدم بها.
\(g\) و\(G\) شيء واحد.
\(G\) ثابت كوني واحد، و\(g\) شدة المجال في مكان معين وتتغير من مكان لآخر ومن كوكب لآخر: على المشتري 24.79 m/s².
أسئلة التقويم
أساسيما قوة التجاذب بين كتلتين من 1 kg على بعد 1 m؟ وكم تصبح إذا تضاعفت المسافة؟
أساسياحسب شدة الجاذبية عند خط الاستواء من \(GM\) للأرض ونصف قطرها الاستوائي.
متوسطما السرعة وزمن الدورة لقمر صناعي في مدار دائري على ارتفاع 400 km؟
متوسطاستنتج كتلة الأرض من \(g\) ونصف قطرها وثابت \(G\)، ثم متوسط كثافتها.
متقدماحسب نصف قطر المدار الثابت بالنسبة للأرض، علماً أن اليوم النجمي 86 164.1 s.
متقدمأيهما يجذب القمر أكثر: الشمس أم الأرض؟ ولماذا لا يترك القمر الأرض؟
المراجع
- البحث الأصليNewton, I. (1687). Philosophiæ naturalis principia mathematica. Jussu Societatis Regiae ac Typis Josephi Streater.
- أول قياس مخبريCavendish, H. (1798). Experiments to determine the density of the earth. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 88, 469–526. https://doi.org/10.1098/rstl.1798.0022
- تحقق حديثLi, Q., Xue, C., Liu, J.-P., Wu, J.-F., Yang, S.-Q., Shao, C.-G., Quan, L.-D., Tan, W.-H., Tu, L.-C., Liu, Q., Xu, H., Liu, L.-X., Wang, Q.-L., Hu, Z.-K., Zhou, Z.-B., Luo, P.-S., Wu, S.-C., Milyukov, V., & Luo, J. (2018). Measurements of the gravitational constant using two independent methods. Nature, 560(7720), 582–588. https://doi.org/10.1038/s41586-018-0431-5
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- القيم الفلكيةPrša, A., Harmanec, P., Torres, G., Mamajek, E., Asplund, M., Capitaine, N., Christensen-Dalsgaard, J., Depagne, É., Haberreiter, M., Hekker, S., Hilton, J., Kopp, G., Kostov, V., Kurtz, D. W., Laskar, J., Mason, B. D., Milone, E. F., Montgomery, M., Richards, M., Schmutz, W., … Stewart, S. G. (2016). Nominal values for selected solar and planetary quantities: IAU 2015 Resolution B3. The Astronomical Journal, 152(2), 41. https://doi.org/10.3847/0004-6256/152/2/41
- كتاب منهجيTaylor, J. R. (2005). Classical mechanics. University Science Books. (Ch. 8)
- كتاب منهجيMurray, C. D., & Dermott, S. F. (1999). Solar system dynamics. Cambridge University Press. (Ch. 2)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يتحقق من مبرهنة القشرة بجمع الحلقات عددياً، ويكامل مداراً عددياً ويقارنه بقانون كبلر الثالث، ويحسب أرقام الصفحة (الجاذبية على السطح، والسرعات، والمدار الثابت، واختبار القمر)، ثم يرسم مسارات مدفع نيوتن.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the universal-gravitation page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
G = 6.67430e-11 # CODATA 2018, N m^2 kg^-2
GM_sun, GM_E, GM_J = 1.3271244e20, 3.986004e14, 1.2668653e17 # IAU 2015 nominal, m^3 s^-2
R_eq, R_pol, R_J = 6.3781e6, 6.3568e6, 7.1492e7 # m
au, T_sid = 149_597_870_700.0, 86164.0905
a_moon, T_moon = 384_399e3, 27.321661 * 86400
# 1. shell theorem: sum the pull of thin rings on a uniform shell (R = 1, M = 1, G = 1)
def shell(r, n=20001):
th = np.linspace(0, np.pi, n); dm = 0.5 * np.sin(th) * (th[1] - th[0])
dx = r - np.cos(th); d = np.hypot(dx, np.sin(th))
return np.sum(dm * dx / d**3)
print("shell: r = 2 ->", round(shell(2.0) * 4, 6), "(point mass: 1); r = 0.5 ->", round(shell(0.5), 9), "(inside: 0)")
# 2. numerical orbit (velocity Verlet, GM = 1) versus Kepler's third law
def orbit(r0, v0, tmax, dt=2e-4):
x, y, vx, vy = r0, 0.0, 0.0, v0; ax, ay = -1 / r0**2, 0.0; out = []
for i in range(int(tmax / dt)):
vx += .5*dt*ax; vy += .5*dt*ay; x += dt*vx; y += dt*vy
r3 = np.hypot(x, y)**3; ax, ay = -x / r3, -y / r3; vx += .5*dt*ax; vy += .5*dt*ay
out.append((i * dt, x, y))
return np.array(out)
tr = orbit(1.0, 1.2, 40.0); r = np.hypot(tr[:, 1], tr[:, 2]); a = (r.max() + r.min()) / 2
ang = np.unwrap(np.arctan2(tr[:, 2], tr[:, 1])); T = tr[np.argmax(ang >= 2 * np.pi), 0]
print(f"orbit: a = {a:.5f} (vis-viva {1/(2-1.44):.5f}), T = {T:.4f} (Kepler {2*np.pi*a**1.5:.4f})")
# 3. numbers on the page
M_E = GM_E / G
print(f"F(1 kg, 1 kg, 1 m) = {G:.3e} N; M_earth = {M_E:.4e} kg; density = {M_E/(4/3*np.pi*R_eq**2*R_pol)/1000:.2f} g/cm^3")
print(f"g equator = {GM_E/R_eq**2:.3f}, pole = {GM_E/R_pol**2:.3f} m/s^2; escape = {np.sqrt(2*GM_E/R_eq)/1e3:.2f} km/s")
r = R_eq + 400e3
print(f"400 km orbit: v = {np.sqrt(GM_E/r)/1e3:.2f} km/s, T = {2*np.pi*np.sqrt(r**3/GM_E)/60:.1f} min, g there = {100*(R_eq/r)**2:.0f}% of surface")
rg = (GM_E * T_sid**2 / (4 * np.pi**2))**(1/3)
print(f"geostationary: r = {rg/1e3:.0f} km, h = {(rg-R_eq)/1e3:.0f} km")
print(f"Moon test: 4 pi^2 r / T^2 = {4*np.pi**2*a_moon/T_moon**2:.3e}, GM/r^2 = {GM_E/a_moon**2:.3e} m/s^2")
print(f"sidereal year = {2*np.pi*np.sqrt(au**3/(GM_sun + GM_E*(1+1/81.3)))/86400:.3f} d; M_sun = {GM_sun/G:.4e} kg")
print(f"Jupiter: g = {GM_J/R_J**2:.2f} m/s^2, escape = {np.sqrt(2*GM_J/R_J)/1e3:.1f} km/s")
print(f"torsion balance (1.5 kg, 38.3 g, 46.5 mm): F = {G*1.5*0.0383/0.0465**2:.1e} N")
# 4. Newton's cannon: exact conics for a horizontal launch at r0 = 1.25 R
th = np.linspace(0, 2 * np.pi, 2000)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(6, 6)); ax.add_patch(plt.Circle((0, 0), 1, color="0.85"))
for f in (0.7, 0.85, 1, 1.2, np.sqrt(2), 1.6):
rr = f**2 * 1.25 / (1 + (f**2 - 1) * np.cos(th)); ok = (rr > 0) & (rr < 8)
stop = np.argmax(rr < 1) if (rr < 1).any() else len(th)
ok[stop + 1:] = False
ax.plot(rr[ok] * np.sin(th[ok]), rr[ok] * np.cos(th[ok]), label=f"v/vc = {f:.3g}")
ax.set_aspect("equal"); ax.set_xlim(-3, 6); ax.set_ylim(-4, 2); ax.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
