تأثير كومبتون
حين تتشتت الأشعة السينية عن إلكترون حر يزداد طولها الموجي بمقدار يعتمد على زاوية التشتت وحدها، كما يتوقع اصطدام جسيمين.
نص القانون
حين يتشتت فوتون طوله الموجي \(\lambda\) عن إلكترون حر ساكن بزاوية \(\theta\)، يخرج بطول موجي أطول \(\lambda’\)، والفرق بينهما لا يعتمد على \(\lambda\) ولا على المادة:
$$\lambda’-\lambda=\frac{h}{m_ec}\,(1-\cos\theta)$$والمقدار \(\lambda_C=h/m_ec\) هو طول موجة كومبتون للإلكترون، فتُكتب الإزاحة أيضاً \(\lambda_C(1-\cos\theta)\). وبدلالة الطاقة \(E=hc/\lambda\):
$$E’=\frac{E}{1+\dfrac{E}{m_ec^{2}}\,(1-\cos\theta)}$$والفرق \(E-E’\) يأخذه الإلكترون طاقة حركة. الإزاحة صفر عند \(\theta=0\)، وتساوي \(\lambda_C\) عند \(90^{\circ}\)، وأكبر ما تكون \(2\lambda_C\) عند الارتداد الكامل \(180^{\circ}\).
المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(\lambda\) | الطول الموجي الساقط | m | \(\mathsf{L}\) |
| \(\lambda’\) | الطول الموجي المتشتت | m | \(\mathsf{L}\) |
| \(\theta\) | زاوية التشتت | rad (°) | \(1\) |
| \(m_e\) | كتلة الإلكترون | 9.109 383 7015 × 10⁻³¹ kg | \(\mathsf{M}\) |
| \(\lambda_C\) | طول موجة كومبتون | 2.42631024 pm | \(\mathsf{L}\) |
| \(m_ec^{2}\) | طاقة سكون الإلكترون | 510.99895 keV | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(r_e\) | نصف القطر الكلاسيكي | 2.8179403262 fm | \(\mathsf{L}\) |
| \(\sigma_T\) | المقطع العرضي لطومسون | 0.6652 b | \(\mathsf{L^{2}}\) |
\(\lambda_C\) و\(r_e\) و\(\sigma_T\) من CODATA 2018. الطولان الموجيان لخطي الموليبدنوم والنحاس مشتقان من «وحدة x» لكل منهما في CODATA 2018. طاقتا أشعة غاما للسيزيوم-137 والكوبالت-60 مقرّبتان (نحو 662 keV و1332 keV).
المعنى الفيزيائي
النظرية الموجية الكلاسيكية (تشتت طومسون) تقول إن الموجة تهز الإلكترون بترددها نفسه فيعيد إشعاعها بالتردد نفسه، أي لا تغيّر في الطول الموجي. كومبتون رصد خطاً ثانياً أطول، وفسّره بأن الفوتون جسيم له طاقة \(hf\) وزخم \(h/\lambda\) يصطدم بالإلكترون اصطداماً مرناً:
- الزخم: ارتداد الإلكترون يأخذ جزءاً من زخم الفوتون وطاقته، فيقل تردد الفوتون الخارج.
- الزاوية وحدها: فرق الطول الموجي تحدده الزاوية والثابت \(\lambda_C\)، لا طاقة الفوتون. لذلك يكون التغير النسبي كبيراً للأشعة القصيرة وضئيلاً للضوء المرئي.
- الإلكترون الحر: الإلكترونات الخارجية في الذرات الخفيفة مرتبطة بطاقة صغيرة جداً مقارنة بطاقة الأشعة السينية، فتتصرف كأنها حرة.
مع الظاهرة الكهروضوئية، أكمل هذا الاكتشاف صورة الفوتون: الأولى أثبتت أن طاقته \(hf\)، وهذا أثبت أن له زخماً \(h/\lambda\).
الاشتقاق
1. الحفظ
فوتون طاقته \(E\) وزخمه \(E/c\) يصطدم بإلكترون ساكن طاقته \(m_ec^{2}\). بعد التصادم: فوتون طاقته \(E’\) بزاوية \(\theta\)، وإلكترون طاقته الكلية \(E_e\) وزخمه \(\mathbf{p}_e\):
$$E+m_ec^{2}=E’+E_e,\qquad\mathbf{p}=\mathbf{p}’+\mathbf{p}_e$$2. حذف الإلكترون
من حفظ الزخم: \((p_ec)^{2}=E^{2}+E’^{2}-2EE’\cos\theta\). ومن حفظ الطاقة مع العلاقة النسبية \(E_e^{2}=(p_ec)^{2}+(m_ec^{2})^{2}\):
$$(E-E’+m_ec^{2})^{2}=E^{2}+E’^{2}-2EE’\cos\theta+(m_ec^{2})^{2}$$بالتبسيط يبقى \(m_ec^{2}(E-E’)=EE'(1-\cos\theta)\)، أي:
$$\frac{1}{E’}-\frac{1}{E}=\frac{1-\cos\theta}{m_ec^{2}}\quad\Longrightarrow\quad\lambda’-\lambda=\frac{h}{m_ec}(1-\cos\theta)$$3. اتجاه الإلكترون
من مركبتي الزخم يخرج الإلكترون دائماً إلى الأمام بزاوية \(\varphi\) تحقق \(\cot\varphi=(1+E/m_ec^{2})\tan(\theta/2)\). عند \(\theta=180^{\circ}\) يندفع الإلكترون في اتجاه الفوتون الساقط بأكبر طاقة، وهي حافة كومبتون:
$$K_{\max}=\frac{2E^{2}}{m_ec^{2}+2E}$$4. احتمال التشتت (كلاين–نيشينا)
المعادلة السابقة تحدد الطاقات فقط. احتمال التشتت بكل زاوية حسبه كلاين ونيشينا عام 1929 من معادلة ديراك. مع \(P=E’/E\):
$$\frac{d\sigma}{d\Omega}=\frac{r_e^{2}}{2}\,P^{2}\left(P+\frac{1}{P}-\sin^{2}\theta\right)$$عند الطاقات المنخفضة يكون \(P\to1\) فتعود إلى صيغة طومسون المتماثلة \(\tfrac{r_e^{2}}{2}(1+\cos^{2}\theta)\)، ومجموعها على كل الاتجاهات \(\sigma_T=\tfrac{8\pi}{3}r_e^{2}\). ومع ارتفاع الطاقة يميل التشتت إلى الأمام ويقل الاحتمال الكلي.
السياق التاريخي
لاحظ الباحثون منذ مطلع القرن العشرين أن الأشعة السينية المتشتتة «أليَن» من الساقطة، ولم يجدوا تفسيراً مقنعاً. قياس دقيق بمطياف براغ حوّل الملاحظة إلى دليل على زخم الفوتون.
- 1905أينشتاين يقترح كمّات الضوء بطاقة \(hf\)، ويشير لاحقاً عام 1916 إلى أن لها زخماً \(hf/c\).
- 1922كومبتون يقيس طيف أشعة Mo Kα المتشتتة عن الغرافيت بمطياف براغ، فيجد خطين: أصلياً ومُزاحاً.
- 1923ينشر كومبتون تفسيره الكمّي في Physical Review، ويصل ديباي إلى النتيجة نفسها مستقلاً في السنة ذاتها.
- 1925بوته وغايغر يرصدان الإلكترون المرتد والفوتون المتشتت متزامنين بعدادين، فيثبتان أن الطاقة والزخم محفوظان في كل تصادم مفرد، لا إحصائياً فقط.
- 1927كومبتون يُمنح نوبل في الفيزياء مناصفة مع ويلسون مخترع غرفة السحاب.
- 1929كلاين ونيشينا يحسبان التوزيع الزاوي للتشتت من ميكانيكا الكم النسبية.
حدود الصلاحية
- الإلكترون المرتبط: القانون يفترض إلكتروناً حراً ساكناً. حركة الإلكترونات في الذرة توسّع الخط المُزاح (اتساع دوبلر، أو «ملف كومبتون»)، وطاقة ربطها تخفض احتمال التشتت عند الزوايا والطاقات الصغيرة.
- الخط غير المُزاح: الإلكترونات الداخلية الشديدة الارتباط ترتد مع الذرة كلها، فتكون الكتلة الفعالة كبيرة والإزاحة شبه صفر. هذا هو التشتت المتماسك (رايلي)، ويظهر خطاً في موضع الخط الأصلي.
- المدى: عند الطاقات المنخفضة يغلب الامتصاص الكهروضوئي، وعند الطاقات فوق بضعة MeV يغلب إنتاج الأزواج. التشتت مهم بينهما، وهو الغالب في الماء والأنسجة على مدى واسع من الطاقات.
- القطبية والتعدد: صيغة كلاين–نيشينا هنا للفوتونات غير المستقطبة. الفوتونات المستقطبة تتشتت بتوزيع غير متماثل حول المحور، وهو أساس مقاييس الاستقطاب في الفلك.
- كومبتون العكسي: إذا كان الإلكترون سريعاً جداً فإنه يعطي الفوتون طاقة بدل أن يأخذ منه، فتنتج أشعة عالية الطاقة من ضوء ليزر أو من إشعاع الخلفية.
الاحتمال الكلي مقارنة بطومسون
المقطع العرضي الكلي لكلاين–نيشينا نسبة إلى \(\sigma_T=0.6652\ \mathrm{b}\): عند 10 keV يساوي 0.963، وعند Mo Kα 0.937، وعند 511 keV 0.431، وعند 5 MeV 0.125 فقط.
المحاكاة التفاعلية
اختر طاقة الفوتون وزاوية التشتت. اللوحة العليا هي التوزيع الزاوي لكلاين–نيشينا في إحداثيات قطبية مع منحنى طومسون للمقارنة، والسفلى طاقة الفوتون المتشتت وطاقة الإلكترون مقابل الزاوية. حرّك الطاقة من بضعة keV إلى عدة MeV لترى التوزيع يميل إلى الأمام والإزاحة النسبية تكبر.
- \(\lambda\) و\(\lambda’\)
- —
- الإزاحة \(\Delta\lambda\) ونسبتها
- —
- طاقة الفوتون المتشتت \(E’\)
- —
- طاقة الإلكترون وزاويته \(\varphi\)
- —
- \(d\sigma/d\Omega\) عند الزاوية
- —
- المقطع الكلي وحافة كومبتون
- —
إلكترون حر ساكن وفوتونات غير مستقطبة. القيم في اللوحة القطبية بوحدة \(r_e^{2}\) لكل ستراديان، ونصف قطر كل نقطة يساوي \(d\sigma/d\Omega\) عند تلك الزاوية. طاقات ¹³⁷Cs و⁶⁰Co مقرّبة.
التحقق التجريبي
التجربة الحاسمة
وجّه كومبتون أشعة Mo Kα إلى قطعة غرافيت، وحلل الأشعة المتشتتة عند 45° و90° و135° بمطياف براغ بلوري. ظهر في كل زاوية خطان: خط في موضع الخط الأصلي، وخط مزاح يتباعد عنه مع الزاوية، بالمقادير التي يتنبأ بها القانون: \(0.7106\) و\(2.4263\) و\(4.1420\ \mathrm{pm}\). وبعد سنتين أثبت بوته وغايغر بعدادين متزامنين أن الإلكترون المرتد والفوتون المتشتت يظهران معاً في التصادم نفسه.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: تشتت أشعة غاما
الإعداد: مصدر ¹³⁷Cs مختوم في حاوية رصاصية بفتحة ضيقة، وقضيب ألومنيوم أو نحاس مشتت، ومكشاف وميضي NaI(Tl) على ذراع يدور حول المشتت، ومحلل متعدد القنوات، ودروع رصاصية بين المصدر والمكشاف.
- عاير المكشاف بخطوط معروفة، وسجّل طيف المصدر مباشرة لتحديد قمة الطاقة الكاملة.
- ضع المكشاف عند زوايا من 30° إلى 120°، وسجّل الطيف مع المشتت ثم بدونه، واطرح الثاني من الأول.
- عيّن مركز قمة الفوتونات المتشتتة عند كل زاوية. يتوقع القانون 479.9 keV عند 45° و288.4 keV عند 90°.
- ارسم \(1/E’\) مقابل \(1-\cos\theta\): خط مستقيم ميله \(1/m_ec^{2}\)، فاستخرج طاقة سكون الإلكترون وقارنها بـ510.99895 keV.
- لاحظ في الطيف المباشر حافة كومبتون عند نحو 477.7 keV وقمة الارتداد الخلفي عند نحو 184.3 keV.
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- الفتحة الزاوية: المكشاف يرى مدى من الزوايا لا زاوية واحدة، فتتسع القمة وتنزاح.
- التشتت المتعدد: الفوتون قد يتشتت مرتين في المشتت أو في الدروع، فيضيف خلفية.
- المعايرة والخطية: استجابة NaI ليست خطية تماماً عند الطاقات المنخفضة.
- الخلفية الطبيعية والتسرب المباشر: لا بد من قياسها وطرحها، وتحسين الدرع بين المصدر والمكشاف.
- ربط الإلكترونات: أثره صغير عند 662 keV لكنه يظهر في الأشعة السينية منخفضة الطاقة.
مثال محلول: تجربة كومبتون عند 90°
أشعة Mo Kα₁ طولها \(\lambda=70.932\ \mathrm{pm}\) (طاقتها 17.479 keV) تتشتت عن الغرافيت بزاوية 90°. احسب الطول الموجي الجديد وطاقة الإلكترون المرتد واتجاهه.
- الإزاحة عند \(90^{\circ}\) تساوي طول موجة كومبتون: $$\Delta\lambda=\lambda_C(1-\cos90^{\circ})=\lambda_C$$ ≈ 2.4263 pm
- الطول الموجي المتشتت \(\lambda’=\lambda+\Delta\lambda\): ≈ 73.358 pm، أي أطول بنحو 3.42%، وهو فرق يفصله مطياف براغ بسهولة.
- طاقة الإلكترون المرتد هي الفرق بين طاقتي الفوتونين: ≈ 578 eV.
- اتجاه الإلكترون من \(\cot\varphi=(1+E/m_ec^{2})\tan45^{\circ}\): φ ≈ 44.0° من اتجاه الحزمة الساقطة.
- مقارنة بأشعة غاما 662 keV عند الزاوية نفسها: الإزاحة في الطول الموجي هي نفسها، لكن الفوتون يفقد معظم طاقته فيخرج بنحو 288.4 keV، ويأخذ الإلكترون 373.6 keV بزاوية 23.5°.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| مطيافية أشعة غاما | يفسّر الاستمرار وحافة كومبتون وقمة الارتداد الخلفي في كل طيف مكشاف، ويُطرح لتحديد القمم. | ¹³⁷Cs: 477.7 keV |
| التصوير والعلاج الإشعاعي | التشتت يحدد توزيع الجرعة في الأنسجة وتباين الصور، ويُحسب بمقطع كلاين–نيشينا. | ⁶⁰Co: حافة 1117.6 keV |
| كاميرات كومبتون | من طاقة الإلكترون وزاوية الفوتون يُعاد بناء اتجاه مصدر أشعة غاما في الفلك والتصوير النووي. | زاوية \(\theta\) من \(E\) و\(E’\) |
| التفتيش الأمني | أجهزة التصوير بالتشتت الخلفي تكشف المواد الخفيفة خلف الأسطح. | 180°: λ’ − λ = 4.8526 pm |
| دراسة المواد | اتساع خط كومبتون يقيس توزيع زخم الإلكترونات في المادة. | ملف كومبتون |
| الفيزياء الفلكية | كومبتون العكسي يرفع فوتونات منخفضة الطاقة إلى أشعة سينية وغاما حول النجوم النابضة والثقوب السوداء. | \(\sigma\to\sigma_T\) عند الطاقات المنخفضة |
مفاهيم خاطئة شائعة
مقدار الإزاحة يعتمد على مادة المشتت وطاقة الفوتون.
للإلكترون الحر تعتمد \(\lambda’-\lambda\) على الزاوية وحدها. الذي يعتمد على الطاقة هو الإزاحة النسبية \(\Delta\lambda/\lambda\).
الفوتون المتشتت أبطأ لأنه فقد طاقة.
سرعته \(c\) دائماً. الذي يتغير هو تردده وطوله الموجي.
الضوء المرئي لا يحدث فيه تأثير كومبتون.
يحدث، لكن الإزاحة النسبية عند 500 nm نحو \(4.9\times10^{-6}\) فقط، فتضيع في عرض الخطوط والأثر الحراري.
وجود خط غير مُزاح في تجربة كومبتون خطأ قياس.
هو تشتت متماسك عن إلكترونات مرتبطة بقوة ترتد مع الذرة كلها، فتكون إزاحته ضئيلة جداً.
تأثير كومبتون والظاهرة الكهروضوئية شيء واحد.
في الكهروضوئية يُمتص الفوتون كلياً، وفي كومبتون يبقى فوتون بطاقة أقل. الإلكترون الحر لا يستطيع امتصاص الفوتون كله مع حفظ الطاقة والزخم معاً.
أسئلة التقويم
أساسيما أكبر إزاحة ممكنة في الطول الموجي للتشتت عن إلكترون حر؟ وعند أي زاوية؟
أساسيأشعة Mo Kα₁ تتشتت بزاوية 135°. ما الطول الموجي المتشتت؟
متوسطاحسب حافة كومبتون وقمة الارتداد الخلفي لأشعة غاما طاقتها نحو 662 keV.
متوسطلماذا يكون التشتت عند 662 keV أميل إلى الأمام منه عند بضعة keV؟
متقدماشتق علاقة طاقة الفوتون المتشتت \(E’\) من حفظ الطاقة والزخم.
متقدمبيّن أن الإلكترون الحر لا يستطيع امتصاص فوتون كاملاً.
المراجع
- البحث الأصليCompton, A. H. (1923). A quantum theory of the scattering of X-rays by light elements. Physical Review, 21(5), 483–502. https://doi.org/10.1103/PhysRev.21.483
- تحقق تجريبيBothe, W., & Geiger, H. (1925). Über das Wesen des Comptoneffekts; ein experimenteller Beitrag zur Theorie der Strahlung. Zeitschrift für Physik, 32(1), 639–663. https://doi.org/10.1007/BF01331702
- النظرية النسبية الكميةKlein, O., & Nishina, Y. (1929). Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantendynamik von Dirac. Zeitschrift für Physik, 52(11–12), 853–868. https://doi.org/10.1007/BF01366453
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- كتاب منهجيEisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (2nd ed.). Wiley. (Ch. 2)
- كتاب منهجيThornton, S. T., & Rex, A. (2013). Modern physics for scientists and engineers (4th ed.). Cengage Learning. (Ch. 3)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يحسب طول موجة كومبتون من الثوابت، والإزاحات وطاقات الفوتون والإلكترون عند زوايا مختلفة، ويتحقق من صيغة كومبتون بحل معادلات الحفظ عددياً، ويكامل توزيع كلاين–نيشينا ليقارنه بالصيغة المغلقة وبمقطع طومسون، ثم يرسم التوزيع القطبي.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the Compton page (shown in section 14)."""
import numpy as np
from scipy.integrate import quad
from scipy.optimize import brentq
import matplotlib.pyplot as plt
h, c, e = 6.62607015e-34, 299_792_458.0, 1.602176634e-19 # exact
m_e = 9.1093837015e-31 # kg, CODATA 2018
mc2 = 510.99895000 # keV, CODATA 2018
r_e = 2.8179403262e-15 # m, CODATA 2018
sigma_T = 6.6524587321e-29 # m^2, CODATA 2018
lam_Mo = 707.831 * 1.00209952e-13 # Mo Ka1 from the CODATA Mo x unit
lam_C = h / (m_e * c)
def e_prime(E, th): # keV
return E / (1 + E / mc2 * (1 - np.cos(th)))
def kn(E, th): # Klein-Nishina dsigma/dOmega, m^2/sr
P = e_prime(E, th) / E
return 0.5 * r_e**2 * P**2 * (P + 1 / P - np.sin(th)**2)
print(f"lambda_C = h/(m_e c) = {lam_C*1e12:.8f} pm (CODATA 2.42631023867 pm)")
E_Mo = h * c / lam_Mo / e / 1e3
for deg in (45, 90, 135, 180):
th = np.radians(deg)
print(f"theta={deg:3d}: d_lambda = {lam_C*(1-np.cos(th))*1e12:.4f} pm, Mo Ka1 -> {(lam_Mo+lam_C*(1-np.cos(th)))*1e12:.3f} pm, "
f"662 keV -> {e_prime(662, th):.1f} keV")
print(f"Compton edge for 662 keV: {662 - e_prime(662, np.pi):.1f} keV")
# conservation of energy and momentum solved numerically, compared with the formula
E, th = 662.0, np.radians(60)
resid = lambda Ep: (E + mc2 - Ep)**2 - (E**2 + Ep**2 - 2*E*Ep*np.cos(th)) - mc2**2
print(f"E' numeric = {brentq(resid, 1e-9, E):.6f} keV, formula = {e_prime(E, th):.6f} keV")
# total cross section: integral of Klein-Nishina over the sphere, in units of sigma_T
for E in (1e-3, 10, E_Mo, 511, 662, 5000):
s = quad(lambda t: kn(E, t) * 2 * np.pi * np.sin(t), 0, np.pi)[0]
print(f"E = {E:9.3f} keV: sigma_KN = {s*1e28:.4f} b = {s/sigma_T:.3f} sigma_T")
t = np.linspace(0, 2 * np.pi, 721)
ax = plt.subplot(projection="polar")
for E in (1e-3, 10, 100, 511, 2000, 10000):
ax.plot(t, kn(E, t) / r_e**2, label=f"{E:g} keV")
ax.legend(fontsize=7); plt.title("Klein-Nishina dsigma/dOmega (r_e^2/sr)"); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
