قانون بلانك لإشعاع الجسم الأسود
المعادلة التي فسّرت توزيع الطاقة في طيف الإشعاع الحراري، وافتتحت فيزياء الكمّ.
نص القانون
الجسم الأسود جسم مثالي يمتص كل الإشعاع الساقط عليه مهما كان طوله الموجي، وإذا كان في اتزان حراري عند درجة حرارة \(T\) فإن الإشعاع الصادر عنه يتحدد بدرجة الحرارة وحدها، لا بمادته ولا بشكله. قانون بلانك يعطي الإشعاعية الطيفية لهذا الجسم، أي القدرة المنبعثة لكل وحدة مساحة ولكل زاوية مجسمة ولكل وحدة طول موجي:
$$B_\lambda(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\,\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{hc}{\lambda k_{B}T}\right)-1}\qquad\left[\mathrm{W\,sr^{-1}\,m^{-3}}\right]$$وبدلالة التردد تكون الصيغة المكافئة:
$$B_\nu(\nu,T)=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\,\frac{1}{\exp\!\left(\dfrac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1}\qquad\left[\mathrm{W\,sr^{-1}\,m^{-2}\,Hz^{-1}}\right]$$الصيغتان مرتبطتان بشرط تساوي الطاقة في الشريحة الطيفية نفسها: \(B_\lambda\,|d\lambda| = B_\nu\,|d\nu|\)، ومنه \(B_\lambda = B_\nu\,c/\lambda^{2}\). لذلك لا تقع قمتا الصيغتين عند الموضع الطيفي نفسه (انظر القسم 11).
المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(B_\lambda\) | الإشعاعية الطيفية لكل طول موجي | W·sr⁻¹·m⁻³ | \(\mathsf{M\,L^{-1}\,T^{-3}}\) |
| \(\lambda\) | الطول الموجي | m | \(\mathsf{L}\) |
| \(T\) | درجة الحرارة المطلقة | K | \(\mathsf{\Theta}\) |
| \(h\) | ثابت بلانك (مضبوط) | 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-1}}\) |
| \(c\) | سرعة الضوء (مضبوطة) | 299 792 458 m·s⁻¹ | \(\mathsf{L\,T^{-1}}\) |
| \(k_B\) | ثابت بولتزمان (مضبوط) | 1.380 649 × 10⁻²³ J·K⁻¹ | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}\,\Theta^{-1}}\) |
| \(\sigma\) | ثابت ستيفان–بولتزمان (مشتق) | 5.670374419 × 10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴ | \(\mathsf{M\,T^{-3}\,\Theta^{-4}}\) |
| \(b\) | ثابت إزاحة فين (مشتق) | 2.897771955 × 10⁻³ m·K | \(\mathsf{L\,\Theta}\) |
منذ إعادة تعريف النظام الدولي للوحدات عام 2019 صارت قيم \(h\) و\(c\) و\(k_B\) مضبوطة بالتعريف، فأصبح \(\sigma\) و\(b\) مشتقين منها بدقة غير محدودة (CODATA 2018).
المعنى الفيزيائي
المعادلة حاصل ضرب عاملين لكل منهما معنى مستقل:
- العامل \(2hc^{2}/\lambda^{5}\) يأتي من عدّ الأنماط الكهرومغناطيسية المسموح بها داخل التجويف، وعددها يزداد بسرعة كلما قصر الطول الموجي. لو بقي وحده لتباعدت الطاقة عند الأطوال القصيرة.
- العامل \(1/(e^{x}-1)\)، حيث \(x=hc/\lambda k_BT\)، هو متوسط عدد الفوتونات في كل نمط (توزيع بوز–آينشتاين بجهد كيميائي صفري). حين تكون طاقة الكمّ \(h\nu\) أكبر بكثير من \(k_BT\) يصبح إثارة النمط نادراً أُسّياً، فيُطفأ الطرف القصير للطيف.
التنافس بين نمو عدد الأنماط وانطفاء الإثارة يصنع القمة. ارفع درجة الحرارة فتتحرك القمة نحو الأطوال الأقصر وفق \(\lambda_{\max}T=b\)، وتزداد المساحة تحت المنحنى، أي القدرة الكلية، بالقوة الرابعة لدرجة الحرارة \(M=\sigma T^{4}\). القانونان ليسا مستقلين عن بلانك، بل نتيجتان له.
الاشتقاق
الاشتقاق الحديث المعتمد في الكتب المنهجية يمر بثلاث خطوات. يختلف عن مسار بلانك الأصلي الذي اعتمد على إنتروبيا المذبذبات وعدّ تركيبي لعناصر الطاقة، لكنه يصل إلى النتيجة نفسها.
1. كثافة الأنماط في التجويف
الموجات الواقفة في تجويف مكعب طول ضلعه \(L\) تحقق \(\mathbf{k}=\tfrac{\pi}{L}(n_x,n_y,n_z)\). عدّ النقاط في ثُمن كرة في فضاء المتجهات الموجية، مع استقطابين لكل متجه، يعطي عدد الأنماط لكل وحدة حجم في المدى \(d\nu\):
$$g(\nu)\,d\nu=\frac{8\pi\nu^{2}}{c^{3}}\,d\nu$$2. متوسط طاقة النمط الواحد
الفيزياء الكلاسيكية تعطي كل نمط \(\langle E\rangle=k_BT\) بمبدأ تساوي التوزيع، فينتج قانون رايلي–جينز \(u_\nu=8\pi\nu^{2}k_BT/c^{3}\)، الذي يتباعد تكامله على كل الترددات. هذه هي «الكارثة فوق البنفسجية».
فرضية بلانك أن طاقة المذبذب لا تأخذ إلا القيم \(E_n=nh\nu\). بأوزان بولتزمان، ومع \(\beta=1/k_BT\):
$$\langle E\rangle=\frac{\sum_{n=0}^{\infty}nh\nu\,e^{-n\beta h\nu}}{\sum_{n=0}^{\infty}e^{-n\beta h\nu}}=-\frac{\partial}{\partial\beta}\ln\!\left(\frac{1}{1-e^{-\beta h\nu}}\right)=\frac{h\nu}{e^{h\nu/k_BT}-1}$$3. التجميع والتحويل
كثافة الطاقة الطيفية هي حاصل ضرب الخطوتين، والإشعاعية الصادرة من فتحة التجويف تساوي \(c/4\pi\) من كثافة الطاقة:
$$u_\nu=\frac{8\pi h\nu^{3}}{c^{3}}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1},\qquad B_\nu=\frac{c}{4\pi}\,u_\nu=\frac{2h\nu^{3}}{c^{2}}\,\frac{1}{e^{h\nu/k_BT}-1}$$وبالتحويل \(B_\lambda=B_\nu\,c/\lambda^{2}\) مع \(\nu=c/\lambda\) نحصل على الصيغة بدلالة الطول الموجي.
النتيجتان المشتقتان
إزاحة فين: بوضع \(\partial B_\lambda/\partial\lambda=0\) ومع \(x=hc/\lambda k_BT\) نصل إلى المعادلة المتسامية \(x=5(1-e^{-x})\)، وجذرها \(x_5=4.965114\ldots\)، فيكون:
$$\lambda_{\max}T=\frac{hc}{x_5k_B}=b=2.897771955\times10^{-3}\ \mathrm{m\,K}$$ستيفان–بولتزمان: تكامل الإشعاعية على كل الترددات ثم على نصف الكرة (\(M=\pi B\)) مع \(\int_0^\infty x^{3}/(e^{x}-1)\,dx=\pi^{4}/15\):
$$M=\pi\!\int_0^\infty\!B_\nu\,d\nu=\frac{2\pi^{5}k_B^{4}}{15h^{3}c^{2}}\,T^{4}=\sigma T^{4}$$السياق التاريخي
بدأت المشكلة حين أثبت كيرشهوف أن إشعاع التجويف المتزن دالة عامة لا تعتمد إلا على الطول الموجي ودرجة الحرارة، وبقي شكل هذه الدالة مجهولاً أربعين سنة. حُسمت المسألة بقياسات تجريبية دقيقة في الأشعة تحت الحمراء، لا بالنظرية وحدها.
- 1859–60كيرشهوف يصوغ قانون الإشعاع الحراري ويطرح سؤال الدالة العامة للجسم الأسود.
- 1896فين يقترح قانوناً أُسّياً يطابق الأطوال القصيرة، لكنه يفشل عند الأطوال الطويلة.
- 1899لومر وبرينغسهايم يقيسان انحرافات منهجية عن قانون فين في الأشعة تحت الحمراء.
- 1900روبنز وكورلباوم يقيسان الإشعاع عند أطوال موجية طويلة بطريقة الأشعة المتبقية، ويجدان أن الشدة تتناسب خطياً مع \(T\). في السنة نفسها يقترح رايلي التناسب \(\nu^{2}T\).
- 19 أكتوبر 1900بلانك يعرض صيغته أمام الجمعية الألمانية للفيزياء بوصفها استكمالاً يجمع بين الحدّين، وتطابق القياسات فوراً.
- 14 ديسمبر 1900بلانك يقدّم أساساً نظرياً للصيغة بتقسيم طاقة المذبذبات إلى عناصر \(\varepsilon=h\nu\)، ثم ينشر البحث الكامل في Annalen der Physik مطلع 1901.
- 1905آينشتاين يذهب أبعد من بلانك: الضوء نفسه مكوّن من كمّات، ويفسّر بها الظاهرة الكهروضوئية.
- 1918بلانك يُمنح جائزة نوبل في الفيزياء تقديراً لاكتشاف كمّات الطاقة.
- 1924بوز يشتق القانون من إحصاء الفوتونات مباشرة، دون الحاجة إلى نموذج المذبذبات.
- 1990–94القمر الصناعي COBE يقيس طيف إشعاع الخلفية الكونية الميكروي، ويجده مطابقاً لمنحنى بلانك بانحرافات أقل من 0.03% من قيمة القمة عند 2.725 K.
حدود الصلاحية
الحالتان الحدّيتان
حدّ رايلي–جينز. عند الأطوال الطويلة حيث \(h\nu\ll k_BT\)، يُستخدم التقريب \(e^{x}\approx1+x\) فيعود القانون الكلاسيكي:
$$B_\lambda\approx\frac{2ck_BT}{\lambda^{4}}$$حدّ فين. وعند الأطوال القصيرة حيث \(h\nu\gg k_BT\)، يُهمل الواحد في المقام فيظهر قانون فين:
$$B_\lambda\approx\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\,e^{-hc/\lambda k_BT}$$تعرض المحاكاة في القسم 7 التقريبين فوق المنحنى الدقيق، فيظهر أين يصلح كل منهما وأين ينهار.
افتراضات القانون
- الاتزان الحراري: المادة والإشعاع عند درجة الحرارة نفسها. البلازما غير المتزنة والليزر خارج هذا الإطار.
- الامتصاصية الكاملة: الأجسام الحقيقية تُصدر \(\varepsilon(\lambda,T)\,B_\lambda\). التنغستن مثلاً انبعاثيته قريبة من 0.3–0.45 في المرئي، وتتغير مع الطول الموجي، فهو ليس جسماً رمادياً.
- أبعاد كبيرة مقارنة بالطول الموجي: صيغة كثافة الأنماط تفترض \(L\gg\lambda\). في التجاويف الصغيرة وعند الفجوات النانوية يتغير عدد الأنماط، ويمكن أن يتجاوز نقل الحرارة الإشعاعي حدّ الجسم الأسود في المجال القريب.
- الوسط: في وسط معامل انكساره \(n\) تُضرب الإشعاعية في \(n^{2}\).
المحاكاة التفاعلية
غيّر درجة الحرارة وراقب انتقال القمة ونمو القدرة الكلية. كل رقم في اللوحة محسوب مباشرة من المعادلة بالثوابت المضبوطة، والكسر المرئي محسوب بالتكامل العددي بين 380 و750 nm.
- قمة الطول الموجي \(\lambda_{\max}\)
- —
- قمة التردد \(\nu_{\max}\)
- —
- الإشعاعية عند القمة
- —
- الصادرية الكلية \(\sigma T^4\)
- —
- نسبة الإشعاع المرئي
- —
- اللون المُدرَك (CIE 1931)
- —
اللون محسوب من دوال المطابقة اللونية CIE 1931 (تقريب Wyman وزملائه 2013) ثم مُحوَّل إلى sRGB ومُطبَّع بالسطوع، فهو يمثّل لون الجسم لا شدته. مرّر المؤشر على المنحنى لقراءة القيم.
التحقق التجريبي
التجارب التاريخية الحاسمة
صُنع «الجسم الأسود» عملياً على هيئة تجويف مُسخَّن بفتحة صغيرة: الإشعاع الذي يدخل الفتحة ينعكس مرات كثيرة على الجدران الداخلية قبل أن يخرج، فتقترب امتصاصية الفتحة من الواحد. قاس لومر وبرينغسهايم الطيف بمطياف منشوري ومقياس إشعاع حراري (بولومتر)، وقاس روبنز وكورلباوم عند أطوال حول 51 µm بعزل «الأشعة المتبقية» بعد انعكاسات متكررة على بلورات الفلوريت والملح الصخري. وأدق اختبار حتى اليوم هو طيف الخلفية الكونية الذي قاسه مطياف FIRAS على متن COBE.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة
الإعداد الشائع في معامل الفيزياء الحديثة: مصباح تنغستن متغير الجهد، ومنشور أو محزوز حيود على مقياس زاوية، ومجس عريض الطيف أو عمود حراري. الخطوات:
- قِس مقاومة الفتيل على البارد \(R_0\) عند درجة حرارة الغرفة.
- شغّل المصباح عند جهد معين، وسجّل التيار والجهد لحساب \(R=V/I\).
- استنتج درجة حرارة الفتيل من النسبة \(R/R_0\) باستخدام جدول المقاومية النوعية للتنغستن مع درجة الحرارة، لا بعلاقة خطية.
- امسح الزاوية وسجّل الشدة النسبية، ثم حوّل الزاوية إلى طول موجي بمنحنى معايرة المنشور \(n(\lambda)\).
- كرّر عند ثلاثة جهود أو أكثر، وارسم \(\lambda_{\max}\) مقابل \(1/T\). الميل يقدّر ثابت فين \(b\).
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- الانبعاثية: التنغستن ليس جسماً أسود، وانبعاثيته تتناقص مع الطول الموجي، فتنزاح القمة المقاسة قليلاً.
- زجاج المصباح: زجاج الصودا والجير يمتص بقوة بعد نحو 2.5–3 µm، فيقطع الذيل الطويل للطيف.
- استجابة المجس: الحساسية الطيفية للمجس غير مستوية، وتحتاج إلى تصحيح.
- تشتت المنشور: العلاقة بين الزاوية والطول الموجي غير خطية، ويتغير عرض الشريحة الطيفية مع الطول الموجي، فلا بد من تحويل الشدة لكل وحدة زاوية إلى شدة لكل وحدة طول موجي.
مثال محلول: من حرارة الشمس إلى الثابت الشمسي
درجة الحرارة الفعّالة للشمس T = 5772 K، ونصف قطرها الاسمي R = 6.957 × 10⁸ m، والوحدة الفلكية 1 au = 1.495 978 707 × 10¹¹ m. احسب قمة الطيف، والصادرية، واللمعان، والإشعاع الواصل إلى الأرض.
- قمة الطول الموجي من قانون فين: $$\lambda_{\max}=\frac{2.897\,77\times10^{-3}}{5772}=5.020\times10^{-7}\ \mathrm{m}$$ ≈ 502 nm، في منتصف المدى المرئي.
- الصادرية عند السطح: $$M=\sigma T^{4}=5.6704\times10^{-8}\times(5772)^{4}=6.294\times10^{7}\ \mathrm{W\,m^{-2}}$$
- اللمعان الكلي بضرب الصادرية في مساحة السطح: $$L=4\pi R^{2}\sigma T^{4}=3.828\times10^{26}\ \mathrm{W}$$ وهي القيمة الاسمية المعتمدة من الاتحاد الفلكي الدولي، مما يؤكد اتساق المعطيات.
- الإشعاع الواصل إلى الأرض بتوزيع اللمعان على كرة نصف قطرها وحدة فلكية: $$S=\frac{L}{4\pi d^{2}}=1361\ \mathrm{W\,m^{-2}}$$ ≈ 1361 W/m²، وهي قيمة الثابت الشمسي المقيسة.
- نسبة الإشعاع في المدى المرئي (380–750 nm) بالتكامل العددي: ≈ 43.8%. قارنها بفتيل عند 2700 K: نحو 7.0% فقط، وهذا سبب ضعف كفاءة المصابيح المتوهجة.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| التصوير الحراري وقياس الحرارة عن بُعد | جسم الإنسان قمته في نافذة الغلاف الجوي 8–14 µm، والكاميرا تحوّل الشدة إلى درجة حرارة بعد تصحيح الانبعاثية. | 310 K → 9.35 µm |
| الخلايا الشمسية | حدّ شوكلي–كويسر يعامل الشمس جسماً أسود ويطبّق مبدأ التوازن التفصيلي لحساب أقصى كفاءة لخلية ذات فجوة طاقة واحدة. | انظر أداة نموذج الديود الواحد في الموقع |
| الفيزياء الفلكية | تقدير درجات حرارة سطوح النجوم من ألوانها وأطيافها، وتصنيفها. | 10 000 K → 290 nm |
| علم الكونيات | طيف الخلفية الكونية أدق جسم أسود قيس في الطبيعة، ودليل رئيسي على نموذج الانفجار العظيم. | 2.725 K → 160 GHz |
| المترولوجيا | مصادر الجسم الأسود المعايَرة هي مرجع معايرة مقاييس الإشعاع والبيرومترات. | مقاييس الإشعاع الأولية |
| المناخ | الأرض تُشع كجسم قريب من 255 K، فتقع قمتها في الأشعة تحت الحمراء حيث تمتص غازات الدفيئة. | 255 K → 11.4 µm |
مفاهيم خاطئة شائعة
قمة الطيف واحدة سواء رُسم بدلالة الطول الموجي أو التردد.
خطأ. قمة \(B_\nu\) تقع عند \(\nu_{\max}=2.8214\,k_BT/h\)، وما يقابلها من طول موجي \(c/\nu_{\max}\approx5.10\ \mathrm{mm\,K}/T\)، بينما قمة \(B_\lambda\) عند \(2.90\ \mathrm{mm\,K}/T\). للشمس: 502 nm مقابل 883 nm. موضع القمة يعتمد على المتغير الذي تُقاس الكثافة بالنسبة له.
الجسم الأسود أسود اللون دائماً.
«أسود» يصف الامتصاص الكامل لا المظهر. الجسم الأسود عند 6000 K شديد السطوع.
الشمس خضراء في الحقيقة لأن قمتها عند نحو 500 nm.
اللون المُدرَك ناتج عن التكامل على كامل الطيف مع حساسية العين، والطيف الشمسي عريض فيبدو أبيض. جرّب 5772 K في المحاكاة.
بلانك أثبت أن الضوء مكوَّن من فوتونات.
بلانك كمّم تبادل الطاقة بين المذبذبات والإشعاع، وعدّه في البداية حيلة رياضية. فرضية كمّات الضوء نفسها جاءت من آينشتاين عام 1905.
كل جسم ساخن يتبع منحنى بلانك.
الأجسام الحقيقية تُضرب في انبعاثية أقل من الواحد ومتغيرة مع الطول الموجي، والغازات المخلخلة تُصدر خطوطاً طيفية لا طيفاً متصلاً.
أسئلة التقويم
أساسيفتيل مصباح عند 2700 K: أين تقع قمة طيفه؟ وهل هي في المدى المرئي؟
أساسيإذا تضاعفت درجة حرارة جسم أسود، فماذا يحدث لقمة الطول الموجي وللقدرة الكلية؟
متوسطبيّن أن قانون بلانك يؤول إلى قانون رايلي–جينز عند الأطوال الطويلة.
متوسطإشعاع الخلفية الكونية عند 2.725 K: احسب تردد القمة في صيغة \(B_\nu\).
متقدماشتق ثابت إزاحة فين، وبيّن لماذا يلزم حل عددي.
متقدماشتق ثابت ستيفان–بولتزمان من قانون بلانك بدلالة الثوابت الأساسية.
المراجع
- البحث الأصليPlanck, M. (1901). Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum. Annalen der Physik, 309(3), 553–563. https://doi.org/10.1002/andp.19013090310
- إعلان الصيغةPlanck, M. (1900). Über eine Verbesserung der Wien’schen Spectralgleichung. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft, 2, 202–204.
- تاريخيRayleigh, Lord. (1900). Remarks upon the law of complete radiation. Philosophical Magazine, 49(301), 539–540. https://doi.org/10.1080/14786440009463878
- تجريبيRubens, H., & Kurlbaum, F. (1901). Anwendung der Methode der Reststrahlen zur Prüfung des Strahlungsgesetzes. Annalen der Physik, 309(4), 649–666. https://doi.org/10.1002/andp.19013090402
- تاريخيEinstein, A. (1905). Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen der Physik, 322(6), 132–148. https://doi.org/10.1002/andp.19053220607
- تحقق حديثMather, J. C., Cheng, E. S., Cottingham, D. A., Eplee, R. E., Jr., Fixsen, D. J., Hewagama, T., et al. (1994). Measurement of the cosmic microwave background spectrum by the COBE FIRAS instrument. The Astrophysical Journal, 420, 439–444. https://doi.org/10.1086/173574
- تطبيقShockley, W., & Queisser, H. J. (1961). Detailed balance limit of efficiency of p-n junction solar cells. Journal of Applied Physics, 32(3), 510–519. https://doi.org/10.1063/1.1736034
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- اللونWyman, C., Sloan, P.-P., & Shirley, P. (2013). Simple analytic approximations to the CIE XYZ color matching functions. Journal of Computer Graphics Techniques, 2(2), 1–11.
- كتاب منهجيKittel, C., & Kroemer, H. (1980). Thermal physics (2nd ed.). W. H. Freeman. (Ch. 4)
- كتاب منهجيEisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (2nd ed.). Wiley. (Ch. 1)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يعيد حساب كل أرقام الصفحة: الطيف لأي مجموعة من درجات الحرارة، وجذر معادلة فين عددياً، وثابت ستيفان–بولتزمان بالتكامل، والكسر المرئي. الدوال مكتوبة بمصفوفات NumPy فتعمل على أي شبكة أطوال موجية ودرجات حرارة.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces every number on the Planck page (shown in section 14)."""
import numpy as np
from scipy.optimize import brentq
from scipy.integrate import quad
import matplotlib.pyplot as plt
# SI 2019 exact constants
h, c, kB = 6.62607015e-34, 299_792_458.0, 1.380649e-23
def planck_lambda(lam, T):
"""Spectral radiance B_lambda [W sr^-1 m^-3]; lam [m], T [K]; broadcasts."""
lam, T = np.asarray(lam, float), np.asarray(T, float)
x = h * c / (lam * kB * T)
with np.errstate(over="ignore"): # e^x overflow -> B = 0 (correct limit)
return 2 * h * c**2 / lam**5 / np.expm1(x)
def peak_root(n):
"""Root of x = n(1 - e^-x): n=5 -> B_lambda peak, n=3 -> B_nu peak."""
return brentq(lambda x: x - n * (1 - np.exp(-x)), 1e-6, 20)
x5, x3 = peak_root(5), peak_root(3)
b = h * c / (x5 * kB) # Wien displacement constant
sigma = 2 * np.pi**5 * kB**4 / (15 * h**3 * c**2)
def visible_fraction(T, lo=380e-9, hi=750e-9):
band = quad(planck_lambda, lo, hi, args=(T,), limit=200)[0]
return band / (sigma * T**4 / np.pi)
# numerical check of sigma by direct integration at an arbitrary T
T0 = 1000.0
num = np.pi * quad(planck_lambda, 1e-8, 1e-2, args=(T0,), limit=500)[0] / T0**4
print(f"b = {b:.9e} m K")
print(f"sigma = {sigma:.9e} (numeric {num:.6e})")
for T in (310, 2700, 5772):
print(f"T={T:5d} K lam_max={b/T*1e6:8.4f} um "
f"nu_max={x3*kB*T/h:.4e} Hz vis={visible_fraction(T):.3%}")
lam = np.linspace(50e-9, 3e-6, 2000)
for T in (3000, 4000, 5000, 5772, 6000):
plt.plot(lam * 1e9, planck_lambda(lam, T) * 1e-9, label=f"{T} K")
plt.xlabel("wavelength (nm)"); plt.ylabel("B_lambda (W sr^-1 m^-2 nm^-1)")
plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
