قانون براغ لحيود الأشعة السينية

Bragg's law of X-ray diffraction

محمد بن سعد الميلبيمنذ يومين

0 16 11 دقائق

قانون براغ لحيود الأشعة السينية

شرط بسيط يربط زاوية انعكاس الأشعة السينية بالمسافة بين مستويات الذرات، وعليه قام علم البلورات الحديث.

$$n\lambda=2d\sin\theta$$

العالِم: ويليام هنري براغ وويليام لورنس براغأُعلن: 1913نُشر: Proc. R. Soc. A 88, 428 (1913)

انعكاس أشعة Cu Kα₁ ($\lambda=1.5406\ \text{Å}$) عن المستويات (111) في السيليكون بالزاوية المحسوبة $\theta=14.221^{\circ}$. الحزمة السفلى تقطع مساراً أطول بمقدار $2d\sin\theta$، فيتعزز الانعكاس حين يساوي هذا الفرق عدداً صحيحاً من الأطوال الموجية.

نص القانون

حين تسقط أشعة سينية طولها الموجي $\lambda$ على بلورة، تتشتت عن كل ذرة. تتداخل الموجات المتشتتة عن مجموعة مستويات ذرية متوازية المسافة بينها $d$ تداخلاً بنّاءً فقط إذا كان الفرق في طول المسار بين مستويين متتاليين عدداً صحيحاً من الأطوال الموجية:

$$n\lambda=2d\sin\theta,\qquad n=1,2,3,\ldots$$

$\theta$ هي الزاوية بين الحزمة والمستوى (لا العمود عليه)، والزاوية التي يقيسها جهاز الحيود بين الحزمة الساقطة والمنحرفة هي $2\theta$. وفي الشبكة المكعبة ذات الثابت $a$ تُعطى المسافة بين المستويات ذات مؤشرات ميلر $(hkl)$ بالعلاقة:

$$d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$$

المتغيرات والثوابت

الرمز	الكمية	القيمة أو الوحدة (SI)	الأبعاد
$n$	رتبة الانعكاس	عدد صحيح	$1$
$\lambda$	الطول الموجي للأشعة السينية	m (Å, pm)	$\mathsf{L}$
$d$	المسافة بين المستويات الذرية المتوازية	m	$\mathsf{L}$
$\theta$	زاوية براغ (بين الحزمة والمستوى)	rad (°)	$1$
$2\theta$	زاوية الحيود المقيسة	°	$1$
$a$	ثابت الشبكة البلورية المكعبة	m	$\mathsf{L}$
$a_{\mathrm{Si}}$	ثابت شبكة السيليكون (CODATA 2018)	5.431020511 Å	$\mathsf{L}$
$\lambda_{\mathrm{Cu}\,K\alpha_1}$	خط النحاس Kα₁ (من وحدة x)	1.5405931 Å	$\mathsf{L}$

الطول الموجي لخط النحاس Kα₁ في الصفحة مشتق من «وحدة x للنحاس» في CODATA 2018 بالتعريف $\lambda=1537.400\ \mathrm{xu(Cu\,K\alpha_1)}$، وثابت شبكة السيليكون من CODATA 2018 أيضاً. بقية ثوابت الشبكة قيم تقريبية عند حرارة الغرفة.

المعنى الفيزيائي

القانون شرط تداخل، والانعكاس فيه مجازي. الأشعة السينية تخترق البلورة وتتشتت عن آلاف المستويات، وكل مستوى يعكس جزءاً ضئيلاً جداً منها. تتراكم هذه الانعكاسات في اتجاه واحد فقط حين تكون كلها في الطور نفسه، وفي غيره يلغي بعضها بعضاً.

لماذا الأشعة السينية؟ يجب أن يكون $\lambda\lt 2d$، والمسافات بين الذرات من رتبة أنغستروم، فالضوء المرئي أطول بآلاف المرات من أن يحيد عنها.
الزوايا تقيس المسافات: كل مجموعة مستويات تعطي قمة عند زاوية محددة. بقياس الزوايا نحسب $d$، ومنها ثابت الشبكة وشكلها.
الشدة تقيس الذرات: القانون يحدد مواقع القمم فقط. شدتها يحددها عامل البنية، أي نوع الذرات ومواقعها داخل الخلية، ولهذا تختفي بعض الانعكاسات تماماً في الشبكات المتمركزة.

الاشتقاق

1. فرق المسار بين مستويين

حزمتان متوازيتان تسقطان بزاوية $\theta$ على مستويين متتاليين. الحزمة السفلى تقطع مسافة إضافية عند النزول ومثلها عند الصعود، كل منهما $d\sin\theta$، فيكون الفرق الكلي $2d\sin\theta$. التداخل البنّاء يتطلب أن يكون هذا الفرق $n\lambda$.

2. الصيغة المكافئة (لاوي)

في صياغة لاوي تتشتت الموجة الساقطة بمتجه موجي $\mathbf{k}$ إلى $\mathbf{k}’$ بالطول نفسه $2\pi/\lambda$ (تشتت مرن). يحدث الحيود حين يساوي متجه التشتت متجهاً من الشبكة المقلوبة:

$$\mathbf{k}’-\mathbf{k}=\mathbf{G}_{hkl},\qquad|\mathbf{G}_{hkl}|=\frac{2\pi}{d_{hkl}}$$

مقدار $\mathbf{k}’-\mathbf{k}$ هندسياً $2k\sin\theta$، فيصير الشرط $2(2\pi/\lambda)\sin\theta=2\pi n/d$، وهو قانون براغ. الرتبة $n$ للمستويات $(hkl)$ هي الرتبة الأولى للمستويات $(nh\,nk\,nl)$.

3. الشبكة المكعبة ومتى تختفي الانعكاسات

شدة الانعكاس تتناسب مع $|F_{hkl}|^{2}$ حيث $F_{hkl}=\sum_j f_j\,e^{2\pi i(hx_j+ky_j+lz_j)}$ على ذرات الخلية. من هذا المجموع تخرج القواعد:

متمركز الجسم (bcc): يظهر الانعكاس إذا كان $h+k+l$ زوجياً.
متمركز الأوجه (fcc): إذا كانت $h,k,l$ كلها فردية أو كلها زوجية.
الماس (Si، Ge): كما في fcc مع شرط إضافي: الزوجية كلها يجب أن يكون مجموعها مضاعفاً للعدد 4. لذلك تغيب (200) و(222).

4. دقة القياس عند الزوايا العالية

بتفاضل القانون عند $\lambda$ ثابتة: $\Delta\theta=-\tan\theta\,\Delta d/d$. الزاوية تزداد حساسية مع اقترابها من $90^{\circ}$، ولهذا تُقاس ثوابت الشبكة الدقيقة من الانعكاسات العالية. تغير نسبي في $d$ قدره $10^{-5}$ يزيح $2\theta$ لانعكاس Si (111) بنحو 0.290 mdeg، ولانعكاس Si (531) بنحو 1.768 mdeg.

السياق التاريخي

بعد سبع عشرة سنة من اكتشاف الأشعة السينية لم يكن معروفاً هل هي موجات أم جسيمات. حسمت تجربة واحدة المسألة، ثم فتح تفسيرها البسيط باب تحديد البنى الذرية.

1895رونتغن يكتشف الأشعة السينية.
1912فريدريش وكنيبينغ ينفذان فكرة لاوي فيحصلان على بقع حيود من بلورة كبريتات النحاس، فيثبت أن الأشعة السينية موجات وأن البلورات شبكات منتظمة.
نوفمبر 1912لورنس براغ، وهو طالب في الثانية والعشرين، يفسر بقع لاوي بانعكاس الأشعة عن مستويات ذرية، ويصوغ الشرط $n\lambda=2d\sin\theta$.
1913هنري براغ يبني مطياف الأشعة السينية بحجرة تأين، وينشر الأب والابن «انعكاس الأشعة السينية عن البلورات»، ويحددان بنى ملح الطعام والماس.
1913–14موزلي يقيس بمطياف براغ خطوط الأشعة المميزة للعناصر، فيرتبها بالعدد الذري.
1914–15لاوي ينال نوبل في الفيزياء عام 1914، والبراغان عام 1915، ولورنس أصغر من نالها في الفيزياء حتى اليوم.
1953صور حيود الأشعة السينية لألياف DNA تقود إلى بنية الحلزون المزدوج.
2011قياس المسافة بين مستويات (220) في سيليكون نقي النظير بقياس التداخل السيني والبصري معاً وبدقة بالغة، ضمن جهود إعادة تعريف الكيلوغرام.

حدود الصلاحية

الاتجاهات لا الشدات: القانون يحدد أين تقع القمم. الشدة تحتاج عامل البنية وعامل الاستقطاب والهندسة (لورنتس) وعامل ديباي–والر للاهتزاز الحراري، ولا يحددها القانون.
التشتت المرن: يُفترض أن الطول الموجي لا يتغير. التشتت غير المرن (كومبتون) يضيف خلفية متصلة لا قمماً.
معامل الانكسار: معامل انكسار الأشعة السينية أقل من الواحد بمقدار صغير جداً، فتنزاح القمم قليلاً عن قانون براغ البسيط. لا يُحسب حسابه إلا في القياسات فائقة الدقة.
البلورة الكبيرة المثالية: القمم الحادة تفترض آلاف المستويات المرتبة. البلورات النانوية والإجهادات توسّع القمم (علاقة شيرر)، والبلورات الكاملة السميكة تحتاج النظرية الديناميكية لأن الحزمة تتشتت مرات متعددة.
حدود الرتب: لا انعكاس إذا كان $n\lambda\gt2d$، فأعلى رتبة $n_{\max}=\lfloor2d/\lambda\rfloor$. لـ Si (111) بأشعة Cu Kα₁ تكون $2d/\lambda=4.071$ فتمكن أربع رتب.
موجات أخرى: القانون نفسه يصح للإلكترونات والنيوترونات بطول موجة دي برولي، لأنه شرط تداخل عام.

تعرض المحاكاة في القسم 7 نمط حيود مسحوق كاملاً، فيُرى كيف تختفي انعكاسات بحسب نوع الشبكة وكيف تتسع القمم بصغر البلورات.

المحاكاة التفاعلية

نمط حيود مسحوق محسوب لبلورة مكعبة: مواقع القمم من قانون براغ، وشداتها من التعددية وعامل البنية بمعاملات تشتت كرومر–مان وعامل الاستقطاب والهندسة واهتزاز الذرات. غيّر الطول الموجي وثابت الشبكة وحجم البلورات، واختر المادة.

الطول الموجي $\lambda$154.06 pm

ثابت الشبكة $a$5.431 Å

حجم البلورات $\tau$60 nm

أسماء الانعكاسات خطوط مواقع القمم

طاقة الفوتون: —
أول انعكاس: —
أقوى انعكاس: —
عدد الانعكاسات حتى 120°: —
عرض أقوى قمة (شيرر): —
أصغر $d$ يظهر حتى 120°: —

الشدة: $I\propto m\,|F|^{2}\,\frac{1+\cos^{2}2\theta}{\sin^{2}\theta\cos\theta}\,e^{-2Bs^{2}}$ مع معاملات كرومر–مان (الجداول الدولية للبلورات، المجلد C) وتصحيح $f’$ لأشعة النحاس. يُهمل الامتصاص والتوجه المفضل وخط Kα₂، فتتفق الشدات مع البطاقات المرجعية في حدود نحو 10–20%. الشدة مطبّعة بأقوى قمة.

التحقق التجريبي

التجارب الحاسمة

صمّم هنري براغ مطيافاً تدور فيه البلورة على محور، وتتبعها حجرة تأين بضعف زاويتها، فتقيس شدة الأشعة المنعكسة مقابل الزاوية. ظهرت قمم حادة عند زوايا تحقق القانون، وتكررت برتب متتالية. استعمل الأب والابن المطياف لقياس الأطوال الموجية لخطوط الأشعة المميزة، ثم بالعكس لتحديد المسافات في بلورات مجهولة البنية.

وأدق تحقق حديث جاء من القياس المعياري: تُقاس المسافة بين مستويات (220) في السيليكون بمقياس تداخل سيني يقارن إزاحة بلورة بطول موجة ليزر مستقر، فتعطي قيمة متسقة مع CODATA $d_{220}=1.920155716\ \text{Å}$، وهي تساوي $a/\sqrt{8}$ بقيمة CODATA لثابت شبكة السيليكون.

تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: مطياف براغ وبلورة ملح الطعام

الإعداد التعليمي الشائع: جهاز أشعة سينية محمي بأنبوب موليبدنوم أو نحاس، وبلورة NaCl مقطوعة على المستوى (100)، ومقياس زوايا يدير البلورة بزاوية $\theta$ والعداد بـ$2\theta$، وعداد غايغر. ثابت شبكة NaCl تقريباً 5.640 Å، فالمسافة بين مستويات (200) نحو 2.820 Å. الخطوات:

اضبط صفر الزاوية بحيث تكون الحزمة موازية لسطح البلورة.
امسح $\theta$ من نحو 3° إلى 25° بخطوة صغيرة، وسجّل معدل العد عند كل خطوة.
حدد مواقع قمم Kα وKβ لكل رتبة $n=1,2,3$.
بأنبوب الموليبدنوم يتوقع القانون أن يقع خط Kα₁ عند $\theta=7.22^{\circ}$ و$14.57^{\circ}$ و$22.17^{\circ}$ للرتب الثلاث.
ارسم $n\lambda$ مقابل $2\sin\theta$: ميل الخط هو $d$، أو استعمل $d$ معلوماً لحساب $\lambda$.

مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير

إزاحة الصفر: خطأ ثابت في الزاوية يُكشف بقياس الانعكاس نفسه على جانبي الحزمة أو بالرتب المتعددة.
إزاحة العينة: سطح البلورة خارج محور الدوران يزيح القمم، وأثره أكبر عند الزوايا الصغيرة.
ثنائية Kα: الخطان Kα₁ وKα₂ متقاربان فيتداخلان عند الزوايا الصغيرة وينفصلان عند الكبيرة، فيتغير شكل القمة.
اتساع الحزمة وفتحات الحجب: توسّع القمم وتحرّك مراكزها الظاهرة.
الحرارة: التمدد الحراري يغير $d$، فدوّن حرارة الغرفة عند القياسات الدقيقة.

مثال محلول: انعكاسات السيليكون بأشعة النحاس

ثابت شبكة السيليكون $a=5.431020511\ \text{Å}$ وبنيته من نوع الماس، والأشعة Cu Kα₁ بطول موجي $\lambda=1.5405931\ \text{Å}$. أين يقع انعكاس (111)؟ وكم رتبة له؟ ولماذا لا تظهر قمة (222)؟

المسافة بين المستويات (111): $$d_{111}=\frac{a}{\sqrt{3}}$$ ≈ 3.1356 Å
زاوية براغ للرتبة الأولى: $$\theta=\arcsin\frac{\lambda}{2d_{111}}$$ ≈ 14.221°، فتظهر القمة عند 2θ ≈ 28.442°.
عدد الرتب الممكنة: $2d/\lambda\approx4.071$، فالرتب من 1 إلى 4.
الرتبة الثانية هي انعكاس (222)، ومكانها المتوقع 2θ ≈ 58.855°. لكن عامل البنية لبنية الماس يساوي صفراً لـ(222)، فلا تظهر عنده قمة (أو تظهر ضعيفة جداً بسبب توزع الإلكترونات في الروابط).
الرتبة الثالثة هي (333)، عند 2θ ≈ 94.950°، وتنطبق تماماً على (511) لأن $h^{2}+k^{2}+l^{2}=27$ لكليهما.
بقية انعكاسات السيليكون حتى 120°: (220) عند 47.302°، (311) عند 56.121°، (400) عند 69.129°، (331) عند 76.375°، (422) عند 88.028°، (440) عند 106.706°، (531) عند 114.089°. المجموع 9 انعكاسات.

التطبيقات

المجال	كيف يُستخدم القانون	رقم مرجعي
تحديد البنى البلورية	من مواقع القمم تُحسب أبعاد الخلية، ومن شداتها مواقع الذرات، حتى في البروتينات.	Si (111): d = 3.1356 Å
تحليل المواد (حيود المسحوق)	نمط القمم بصمة لكل مركب بلوري، فيُستعمل للتعرف على الأطوار ونسبها.	Cu (111): 2θ = 43.32°
حجم البلورات والإجهاد	اتساع القمم يقدّر حجم البلورات النانوية، وانزياحها يقيس الإجهاد في الطبقات الرقيقة.	τ = 30 nm → β ≈ 0.273°
المطيافية السينية	بلورة معلومة $d$ تفصل الأطوال الموجية في مطيافات تحليل العناصر وأحاديات اللون.	Cu Kα₁ = 8.048 keV
أشباه الموصلات	تحديد اتجاه القطع في رقائق السيليكون وجودة الطبقات النامية عليها.	a(Si) = 5.4310 Å
المترولوجيا	المسافة بين مستويات السيليكون المقيسة بالتداخل السيني أساس قياس ثابت أفوغادرو وإعادة تعريف الكيلوغرام.	d₂₂₀ = 1.920155716 Å

مفاهيم خاطئة شائعة

الأشعة السينية تنعكس عن سطح البلورة كما ينعكس الضوء عن المرآة.

تخترق البلورة وتتشتت عن آلاف المستويات، والانعكاس يحدث عند زوايا محددة فقط تحقق التداخل البنّاء. المرآة تعكس عند كل زاوية.

الزاوية التي يقرؤها الجهاز هي $\theta$.

الجهاز يقيس $2\theta$ بين الحزمة الساقطة والمنحرفة. نسيان القسمة على 2 خطأ شائع في التقارير.

كل مجموعة مستويات $(hkl)$ تعطي قمة.

عامل البنية يلغي بعض الانعكاسات. في السيليكون لا تظهر (200) و(222) رغم أن قانون براغ يحدد لهما موقعاً.

الرتب العالية ظاهرة مختلفة عن الأولى.

الرتبة $n$ للمستويات $(hkl)$ هي الرتبة الأولى للمستويات $(nh\,nk\,nl)$، بمسافة $d/n$.

قانون براغ يعطي شدة القمم.

يعطي مواقعها فقط. الشدة تعتمد على نوع الذرات ومواقعها والاستقطاب والاهتزاز الحراري والامتصاص.

أسئلة التقويم

أساسيظهرت قمة عند 2θ = 47.302° بأشعة Cu Kα₁. ما المسافة $d$؟

$\theta$ نصف القراءة، و$d=\lambda/(2\sin\theta)\approx1.9202\ \text{Å}$، وهي مسافة مستويات (220) في السيليكون.

أساسيلماذا لا يمكن دراسة البلورات بالضوء المرئي؟

الشرط $\sin\theta=n\lambda/2d\le1$ يتطلب $\lambda\le2d$. المسافات بين المستويات من رتبة الأنغستروم، والضوء المرئي أطول منها بآلاف المرات، فلا توجد زاوية تحقق الشرط.

متوسطعيّن أول خمسة انعكاسات للنحاس (fcc، $a\approx3.615\ \text{Å}$) بأشعة Cu Kα₁.

في fcc تظهر $(hkl)$ الفردية كلها أو الزوجية كلها: (111) عند 43.32°، (200) عند 50.45°، (220) عند 74.13°، (311) عند 89.94°، (222) عند 95.15°.

متوسطبلورة NaCl تُدرس بأنبوب نحاس بدل الموليبدنوم. أين يقع انعكاس (200) للرتبة الأولى؟ ولماذا يفضّل الموليبدنوم لعرض رتب أكثر؟

بأشعة Cu Kα₁ تكون $\theta\approx15.85^{\circ}$، وبأشعة Mo Kα₁ $\theta\approx7.22^{\circ}$. طول موجة الموليبدنوم أقصر (0.7093 Å) فتقع الرتب عند زوايا أصغر ويتسع المجال لرتب أعلى قبل بلوغ حد الجهاز.

متقدماشتق قانون براغ من شرط لاوي $\mathbf{k}’-\mathbf{k}=\mathbf{G}$.

التشتت مرن فـ$|\mathbf{k}|=|\mathbf{k}’|=2\pi/\lambda$، والزاوية بينهما $2\theta$، فمقدار الفرق $2(2\pi/\lambda)\sin\theta$. المتجه $\mathbf{G}$ عمودي على المستويات ومقداره $2\pi n/d$. بالمساواة: $2d\sin\theta=n\lambda$.

متقدمبيّن من عامل البنية أن انعكاس (200) يختفي في بنية الماس بينما يظهر في fcc.

ذرات الماس: مواقع fcc الأربعة ومثلها مزاحة بـ$(\tfrac14,\tfrac14,\tfrac14)$، فـ$F=F_{\mathrm{fcc}}\,(1+e^{i\pi(h+k+l)/2})$. لـ(200): $F_{\mathrm{fcc}}=4f$ و$1+e^{i\pi}=0$، فتختفي القمة. لـ(400): $1+e^{2\pi i}=2$ فتظهر.

المراجع

البحث الأصليBragg, W. H., & Bragg, W. L. (1913). The reflection of X-rays by crystals. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 88(605), 428–438. https://doi.org/10.1098/rspa.1913.0040
اكتشاف الحيودFriedrich, W., Knipping, P., & Laue, M. (1913). Interferenzerscheinungen bei Röntgenstrahlen. Annalen der Physik, 346(10), 971–988. https://doi.org/10.1002/andp.19133461004
تحقق حديثMassa, E., Mana, G., Kuetgens, U., & Ferroglio, L. (2011). Measurement of the {220} lattice-plane spacing of a ²⁸Si x-ray interferometer. Metrologia, 48(2), S37–S43. https://doi.org/10.1088/0026-1394/48/2/S06
الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
كتاب منهجيKittel, C. (2005). Introduction to solid state physics (8th ed.). Wiley. (Ch. 2)
كتاب منهجيCullity, B. D., & Stock, S. R. (2001). Elements of X-ray diffraction (3rd ed.). Pearson Education. (Ch. 3)

كود إعادة الإنتاج

سكربت Python يحسب طول موجة Cu Kα₁ من وحدة x في CODATA، وانعكاسات السيليكون والنحاس وزواياها، ويطبق قواعد الاختفاء من مجموع عامل البنية مباشرة، ويتحقق من شرط لاوي عددياً، ثم يرسم مواقع الانعكاسات.

#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the Bragg page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# CODATA 2018
a_Si = 5.431020511e-10                      # lattice parameter of silicon, m
d220_codata = 1.920155716e-10               # lattice spacing of ideal Si (220), m
lam_Cu = 1537.400 * 1.00207697e-13          # λ(Cu Kα1) = 1537.400 xu(Cu Kα1), m
lam_Mo = 707.831 * 1.00209952e-13           # λ(Mo Kα1) = 707.831 xu(Mo Kα1), m
h, e, c = 6.62607015e-34, 1.602176634e-19, 299_792_458.0

fcc = [(0, 0, 0), (.5, .5, 0), (.5, 0, .5), (0, .5, .5)]
basis = {"fcc": fcc, "diamond": fcc + [(x + .25, y + .25, z + .25) for x, y, z in fcc]}

def F2(hkl, kind):                          # |F|^2 for identical atoms, explicit sum over the basis
    return abs(sum(np.exp(2j * np.pi * np.dot(hkl, r)) for r in basis[kind])) ** 2

def reflections(a, kind, lam, max2t=120):
    seen, out = set(), []
    for H in range(7):
        for K in range(H + 1):
            for L in range(K + 1):
                s2 = H*H + K*K + L*L
                if s2 == 0 or s2 in seen or F2((H, K, L), kind) < 1e-9:
                    continue
                d = a / np.sqrt(s2); s = lam / (2 * d)
                if s <= 1 and 2 * np.degrees(np.arcsin(s)) <= max2t:
                    seen.add(s2); out.append(((H, K, L), d, 2 * np.degrees(np.arcsin(s))))
    return sorted(out, key=lambda r: r[2])

print(f"Cu Ka1: lambda = {lam_Cu*1e10:.7f} A, E = {h*c/lam_Cu/e/1e3:.3f} keV;  Mo Ka1: {lam_Mo*1e10:.7f} A")
print(f"Si: a/sqrt(8) = {a_Si/np.sqrt(8)*1e10:.9f} A   vs CODATA d220 = {d220_codata*1e10:.9f} A")
for hkl, d, tt in reflections(a_Si, "diamond", lam_Cu):
    print(f"  Si {hkl}: d = {d*1e10:.4f} A, 2theta = {tt:.3f} deg")
print("diamond |F|^2: (111) =", round(F2((1,1,1), "diamond")), " (200) =", round(F2((2,0,0), "diamond")),
      " (222) =", round(F2((2,2,2), "diamond")), " (220) =", round(F2((2,2,0), "diamond")))

d111 = a_Si / np.sqrt(3)
for n in range(1, int(2 * d111 / lam_Cu) + 1):
    th = np.arcsin(n * lam_Cu / (2 * d111))
    k = 2 * np.pi / lam_Cu; G = 2 * np.pi * n / d111
    print(f"  Si(111) order {n}: 2theta = {2*np.degrees(th):.3f} deg, |k'-k|/G = {2*k*np.sin(th)/G:.12f}")

d200 = 5.640e-10 / 2                        # NaCl, representative a = 5.640 A
print("NaCl (200) with Mo Ka1, theta for n = 1..3:",
      [round(float(np.degrees(np.arcsin(n * lam_Mo / (2 * d200)))), 2) for n in (1, 2, 3)])

pk = reflections(a_Si, "diamond", lam_Cu)
plt.vlines([p[2] for p in pk], 0, 1)
for hkl, d, tt in pk:
    plt.text(tt, 1.02, "".join(map(str, hkl)), ha="center", fontsize=8)
plt.xlabel("2 theta (deg)"); plt.yticks([]); plt.title("Si, Cu Ka1: allowed reflections"); plt.tight_layout(); plt.show()