مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ

Heisenberg's uncertainty principle

محمد بن سعد الميلبيمنذ يومين

0 17 10 دقائق

مبدأ عدم اليقين لهايزنبرغ

لا توجد حالة كمومية يكون فيها موضع الجسيم وزخمه محددين معاً بدقة اعتباطية؛ حاصل ضرب انتشاريهما لا ينزل عن ħ/2.

$$\sigma_x\,\sigma_p\ \ge\ \frac{\hbar}{2}$$

العالِم: فيرنر هايزنبرغأُعلن: 1927نُشر: Z. Phys. 43, 172 (1927)

كثافة الاحتمال في الموضع $|\psi(x)|^{2}$ وفي الزخم $|\phi(p)|^{2}$ لثلاث حزم غاوسية: σx = 0.25, 0.5, 1 nm. كل حزمة تحقق $\sigma_x\sigma_p=\hbar/2$ بالضبط، فتضييق إحدى الكثافتين يوسّع الأخرى.

نص القانون

في أي حالة كمومية لجسيم، إذا قيس موضعه في نسخ كثيرة متطابقة من الحالة نفسها، وقيس زخمه في نسخ أخرى، فإن الانحرافين المعياريين لنتائج القياسين لا يمكن أن يصغرا معاً. حاصل ضربهما له حد أدنى:

$$\sigma_x\,\sigma_p\ \ge\ \frac{\hbar}{2}$$

حيث $\sigma_x=\sqrt{\langle x^{2}\rangle-\langle x\rangle^{2}}$ وكذلك $\sigma_p$. وتنطبق العلاقة على كل اتجاه مستقل: $\sigma_y\sigma_{p_y}\ge\hbar/2$، ولا قيد بين $x$ و$p_y$.

والصيغة العامة لأي كميتين قابلتين للقياس مؤثراهما $\hat{A}$ و$\hat{B}$:

$$\sigma_A\,\sigma_B\ \ge\ \frac{1}{2}\left|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle\right|$$

وللموضع والزخم يكون المبادِل $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$، فنعود إلى الصيغة الأولى.

المتغيرات والثوابت

الرمز	الكمية	القيمة أو الوحدة (SI)	الأبعاد
$\sigma_x$	الانحراف المعياري للموضع	m	$\mathsf{L}$
$\sigma_p$	الانحراف المعياري للزخم	kg·m·s⁻¹	$\mathsf{M\,L\,T^{-1}}$
$\hbar$	ثابت بلانك المختزل	1.054 571 817… × 10⁻³⁴ J·s	$\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-1}}$
$\hat{A},\hat{B}$	مؤثرا كميتين مقيستين	—	$—$
$[\hat{A},\hat{B}]$	المبادِل AB − BA	—	$—$
$\tau$	عمر حالة غير مستقرة	s	$\mathsf{T}$
$\Gamma$	العرض الطاقي للحالة	J (أو eV)	$\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}$

$\hbar=h/2\pi=1.054571818\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$ مضبوط منذ 2019، أي $6.582120\times10^{-16}\ \mathrm{eV\,s}$. صغر هذا الثابت هو سبب عدم ظهور المبدأ في الأجسام اليومية.

المعنى الفيزيائي

المبدأ خاصية لكل موجة، لا عيب في الأجهزة. الجسيم الكمومي توصفه دالة موجة، ودالة الزخم هي تحويل فورييه لها:

موجة قصيرة الامتداد تحتاج مدى واسعاً من الأطوال الموجية لتُبنى، فيتسع توزيع الزخم.
موجة جيبية نقية زخمها محدد تماماً، لكنها ممتدة في كل المكان، فلا موضع محدداً لها.
الحد الأدنى تبلغه الحزمة الغاوسية وحدها، وكل حالة أخرى حاصل ضربها أكبر.

والمبدأ لا يمنع قياس الموضع بدقة عالية جداً. الذي يمنعه أن تُحضّر حالة يكون فيها الانتشاران صغيرين معاً، فإن ضاق الموضع اتسع الزخم في الحالة نفسها، وأي قياس لاحق للزخم يُظهر ذلك الاتساع.

الاشتقاق

1. متباينة روبرتسون

عرّف $\hat{a}=\hat{A}-\langle A\rangle$ و$\hat{b}=\hat{B}-\langle B\rangle$. متباينة كوشي–شفارتز للمتجهين $\hat{a}\psi$ و$\hat{b}\psi$:

$$\sigma_A^{2}\sigma_B^{2}=\langle\hat{a}\psi|\hat{a}\psi\rangle\langle\hat{b}\psi|\hat{b}\psi\rangle\ \ge\ \left|\langle\hat{a}\psi|\hat{b}\psi\rangle\right|^{2}$$

والطرف الأيمن لا يقل عن مربع جزئه التخيلي، وهو $\tfrac{1}{2i}\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle$، فنحصل على $\sigma_A\sigma_B\ge\tfrac12|\langle[\hat{A},\hat{B}]\rangle|$.

2. الموضع والزخم

بما أن $\hat{p}=-i\hbar\,d/dx$، فلأي دالة $f$: $[\hat{x},\hat{p}]f=x(-i\hbar f’)-(-i\hbar)(xf)’=i\hbar f$. إذن $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$.

3. الحزمة الغاوسية تبلغ الحد

الحالة $\psi\propto e^{-x^{2}/4\sigma_x^{2}}e^{ik_0x}$ تحويل فورييه لها غاوسي أيضاً بانتشار $\sigma_k=1/2\sigma_x$، فيكون $\sigma_x\sigma_p=\hbar\sigma_x\sigma_k=\hbar/2$ بالضبط.

4. أمثلة لحالات أخرى

كل حالة غير غاوسية حاصل ضربها أكبر من الحد:

الحالة الأرضية في صندوق لانهائي: $\sigma_x\sigma_p=\tfrac{\hbar}{2}\sqrt{\pi^{2}/3-2}\approx0.5679\,\hbar$.
الحالة $n$ في المذبذب التوافقي: $\sigma_x\sigma_p=(n+\tfrac12)\hbar$، والحالة الأرضية تبلغ الحد.
الحالة 1s في الهيدروجين لكل مركبة: $\sigma_x\sigma_{p_x}=\hbar/\sqrt3\approx0.5774\,\hbar$.

السياق التاريخي

بدأ المبدأ حجة فيزيائية عن حدود الملاحظة، ثم صار خلال سنتين نظرية رياضية دقيقة عن انتشار الحالات الكمومية.

1925هايزنبرغ يضع ميكانيكا المصفوفات، وفيها لا يتبادل الموضع والزخم.
1927هايزنبرغ ينشر في Zeitschrift für Physik بحثه عن «المضمون الحسي» للحركيات الكمومية، ويقدّر العلاقة بتجربة ذهنية: مجهر أشعة غاما يرصد إلكتروناً فيدفعه الفوتون.
1927كينارد يثبت الصيغة الدقيقة $\sigma_x\sigma_p\ge\hbar/2$ ويبيّن أن الحزمة الغاوسية تبلغها.
1927بور يطرح مبدأ التتامّ، ويبدأ نقاشه الطويل مع آينشتاين في مؤتمرات سولفاي.
1929روبرتسون يعمم العلاقة لأي كميتين لا تتبادل مؤثراتهما.
1932هايزنبرغ ينال جائزة نوبل في الفيزياء عن ميكانيكا الكم.
2002نايرز وأرندت وتسايلنغر يمررون جزيئات الفوليرين C₆₀ عبر شق تتغير سعته، ويقيسون اتساع الحزمة بعده، فيتفق مع المبدأ لأجسام من 60 ذرة.

حدود الصلاحية

علاقة إحصائية: $\sigma_x$ و$\sigma_p$ انتشاران لنتائج قياسات على نسخ كثيرة من الحالة نفسها، لا خطأ قياس واحد. العلاقة بين خطأ قياس واحد واضطراب الكمية الأخرى مسألة مختلفة، ولها متباينات أخرى (أوزاوا) اختُبرت تجريبياً.
الكميات المتبادلة: إذا تبادل المؤثران، كمركبتي زخم مختلفتين، فلا قيد على انتشاريهما.
الطاقة والزمن: الزمن معامل في ميكانيكا الكم لا مؤثر، فالعلاقة $\Gamma\tau\approx\hbar$ تقدير يربط عمر الحالة بعرض طاقتها، لا متباينة روبرتسون نفسها.
الأجسام الكبيرة: المبدأ صحيح لها، لكن $\hbar$ صغير جداً: كرة كتلتها 1 g وموضعها محدد ضمن 1 µm يكون انتشار سرعتها $\ge5.3\times10^{-26}\ \mathrm{m/s}$.
متباينات أقوى: للحالات المختلطة وللكميات الأعم توجد صيغ أدق، منها علاقة شرودنغر–روبرتسون والعلاقات الإنتروبية.

تعرض المحاكاة في القسم 7 حالات مختلفة وتحسب الحاصل لكل منها، فيُرى أن الغاوسية وحدها تبلغ الحد.

المحاكاة التفاعلية

اختر حالة الجسيم واتساع الحيز وكتلته. تحسب المحاكاة توزيع الزخم بتحويل فورييه عددي لدالة الموجة نفسها، ثم الانحرافين المعياريين وحاصل ضربهما بوحدة $\hbar$. وللحزمة الغاوسية الحرة يمكن تحريك الزمن لترى انتشارها في الموضع بينما يبقى توزيع الزخم ثابتاً.

اتساع الحيز $a$1 nm

الكتلة $m/m_e$1

الزمن $t$ (للحزمة الحرة)0

الجزء الحقيقي من $\psi$ خطوط الانحراف المعياري

انتشار الموضع $\sigma_x$: —
انتشار الزخم $\sigma_p$: —
الحاصل $\sigma_x\sigma_p$: —
انتشار السرعة $\sigma_p/m$: —
زمن تضاعف $\sigma_x$ بعد تحرير الجسيم: —
متوسط طاقة الحركة $\langle p^{2}\rangle/2m$: —

دالة الموجة على شبكة من 2048 نقطة. منحنى الزخم تحويل فورييه سريع لها، و$\sigma_p$ من مشتقتها العددية (يساويان بمبرهنة بارسيفال). منزلق الزمن يطوّر الحزمة الغاوسية تطوراً حراً في فضاء الزخم، ولا يؤثر في الحالات الأخرى. «اتساع الحيز» هو $2\sigma_0$ للغاوسية، وعرض الصندوق، و$2\sqrt{\hbar/m\omega}$ للمذبذب، وعرض كل شق للشقين وشكله شكل الحالة الأرضية في صندوق، والمسافة بين مركزيهما ثلاثة أضعاف عرضه. زمن التضاعف من $\sigma_x^{2}(t)=\sigma_x^{2}(0)+(\sigma_p t/m)^{2}$ لدالة موجة ابتدائية حقيقية.

التحقق التجريبي

التجارب الحاسمة

أوضح اختبار مباشر هو الحيود من شق: الشق يحصر الموضع العرضي ضمن سعته، فيتسع الزخم العرضي وتنتشر الحزمة خلفه. في تجربة الفوليرين مرّت جزيئات C₆₀ (كتلتها $1.196\times10^{-24}\ \mathrm{kg}$) عبر شق تُضيّق سعته تدريجياً. فإذا ضاق الشق أكثر من حد معين اتسعت الحزمة خلفه بدل أن تضيق، كما يتوقع المبدأ تماماً.

وتظهر العلاقة كذلك في الأطياف: الحالات الذرية القصيرة العمر خطوطها أعرض. حالة عمرها 10 ns مثلاً عرضها الطاقي نحو $65.8\ \mathrm{neV}$، أي $15.92\ \mathrm{MHz}$ في التردد.

تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: الحيود من شق مفرد

الإعداد: ليزر هيليوم–نيون أو ليزر ديود معلوم الطول الموجي، وشق قابل للضبط أو مجموعة شقوق معلومة السعة، وشاشة أو مجس ضوئي على مسطرة منزلقة على بعد متر أو أكثر.

ثبّت الشق عمودياً على الحزمة وقِس سعته $a$ بالمجهر أو من شهادة الصانع.
قِس على الشاشة المسافة بين الحدين الأدنيين الأولين على جانبي القمة المركزية، واحسب الزاوية $\theta$ من بعد الشاشة.
زخم الفوتون $p=h/\lambda$، فالانتشار العرضي للزخم تقريباً $\Delta p_y\approx p\sin\theta$.
احسب $a\,\Delta p_y$ وقارنه بـ$h$، وكرر لعدة سعات: كلما ضاق الشق اتسعت القمة، ويبقى الحاصل ثابتاً تقريباً.
ارسم $\sin\theta$ مقابل $1/a$: خط مستقيم ميله $\lambda$.

مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير

التعريف: مسافة الحد الأدنى الأول ليست الانحراف المعياري، فالمقارنة مع $h$ لا مع $\hbar/2$. حدد التعريف الذي تستعمله.
سعة الشق: خطأ صغير في $a$ خطأ نسبي كبير عند الشقوق الضيقة.
حجم الحزمة وتشتتها: الحزمة الأصلية ليست موجة مستوية تماماً، فلها اتساع زاوي خاص بها.
بعد الشاشة: يجب أن يكون كبيراً بالنسبة إلى $a^{2}/\lambda$ ليصح نمط فراونهوفر.

مثال محلول: لماذا لا ينهار الإلكترون على النواة؟

إلكترون محصور حول نواة الهيدروجين ضمن انتشار من رتبة نصف قطر بور $a_0$. قدّر أدنى زخم وطاقة حركة يفرضهما المبدأ، ثم كرر لبروتون في نواة.

أدنى انتشار للزخم: $$\sigma_p\ge\frac{\hbar}{2a_0}=9.96\times10^{-25}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$$
أدنى طاقة حركة $\sigma_p^{2}/2m_e$: ≈ 3.40 eV، وانتشار السرعة نحو 1094 km/s. هذا من رتبة طاقة الذرة نفسها (طاقة ريدبرغ 13.606 eV)، فالحصر في حجم أصغر يرفع طاقة الحركة أكثر مما تخفضه الجاذبية الكهربائية، ولهذا للذرة حجم مستقر.
بروتون في نواة بانتشار نحو 2 fm: $\sigma_p\ge\hbar/2\sigma_x$، وأدنى طاقة حركة ≈ 1.30 MeV، وهي رتبة طاقات الربط النووية.
لو حُصر إلكترون في النواة نفسها لكانت طاقة حركته النسبية نحو 49 MeV، أكبر بكثير مما تستطيع القوى الكهربائية حبسه، ولذلك لا توجد إلكترونات داخل الأنوية.

التطبيقات

المجال	كيف يُستخدم المبدأ	رقم مرجعي
استقرار الذرات	طاقة الحصر تمنع انهيار الإلكترون على النواة وتحدد حجم الذرة.	σx = a₀ → E ≥ 3.40 eV
طاقة نقطة الصفر	الذرات تبقى مهتزة عند الصفر المطلق، ولهذا لا يتجمد الهيليوم عند الضغط الجوي.	$E_0=\tfrac12\hbar\omega$
عرض الخطوط الطيفية	عمر الحالة يحدد أدنى عرض لخطها، وهذا يضع حداً لدقة الساعات الذرية والليزرات.	τ = 10 ns → 15.92 MHz
الضوء المضغوط	تقليل الضجيج في إحدى خاصيتين متبادلتين على حساب الأخرى، ويُستعمل في كواشف موجات الجاذبية.	$\sigma_X\sigma_Y\ge\tfrac14$
المجاهر الإلكترونية والحيود	اتساع الحزمة بعد فتحة ضيقة يحدد التصميم والدقة.	54 eV, a = 0.5 nm → 19.5°
الحوسبة والتشفير الكمومي	عدم إمكان قياس كميتين متبادلتين بدقة معاً يكشف أي محاولة تنصّت.	بروتوكولات توزيع المفاتيح

مفاهيم خاطئة شائعة

المبدأ يعني أن أجهزتنا غير دقيقة بما يكفي.

هو خاصية للحالة الكمومية نفسها. حتى بأجهزة مثالية لا توجد حالة يكون فيها الانتشاران صغيرين معاً.

لا يمكن قياس الموضع بدقة عالية.

يمكن ذلك، لكن الحالة بعد القياس يكون زخمها واسع الانتشار.

المبدأ ينطبق على الذرات فقط.

ينطبق على كل شيء، لكن صغر $\hbar$ يجعل أثره غير محسوس في الأجسام الكبيرة.

الإلكترون له موضع وزخم محددان لا نعرفهما.

التجارب، ومنها اختبارات متباينات بيل، تستبعد هذا التفسير البسيط. الانتشار ليس جهلاً بقيم موجودة مسبقاً.

$\Delta E\,\Delta t\ge\hbar/2$ مثل علاقة الموضع والزخم تماماً.

الزمن ليس مؤثراً، فالعلاقة تقدير يربط عمر الحالة بعرض طاقتها أو مدة التطور بانتشار الطاقة.

أسئلة التقويم

أساسيإلكترون في حزمة غاوسية انتشار موضعها 0.5 nm. ما أدنى انتشار لسرعته؟

$\sigma_p=\hbar/2\sigma_x=1.05\times10^{-25}\ \mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$، و$\sigma_v=\sigma_p/m_e\approx116\ \mathrm{km/s}$.

أساسيكرة كتلتها 1 g وموضعها محدد ضمن 1 µm. ما أدنى انتشار لسرعتها؟

$\sigma_v\ge\hbar/(2m\sigma_x)\approx5.3\times10^{-26}\ \mathrm{m/s}$، وهو أصغر من أن يُقاس، ولهذا لا نلاحظ المبدأ في الحياة اليومية.

متوسطإلكترون في حزمة حرة انتشارها الابتدائي 1 nm. بعد كم يتضاعف انتشار موضعه تقريباً؟

$\sigma_x(t)=\sigma_0\sqrt{1+(t/\tau)^{2}}$ مع $\tau=2m\sigma_0^{2}/\hbar\approx17.3\ \mathrm{fs}$، فيتضاعف عند $t=\sqrt3\,\tau$. ولو كان الانتشار 1 µm لكان $\tau\approx17.3\ \mathrm{ns}$.

متوسطحالة ذرية عمرها 10 ns. ما العرض الطبيعي لخطها الطيفي؟

$\Gamma=\hbar/\tau\approx65.8\ \mathrm{neV}$، أي عرض في التردد $1/2\pi\tau\approx15.92\ \mathrm{MHz}$.

متقدمبيّن أن $[\hat{x},\hat{p}]=i\hbar$، واستنتج منها الحد الأدنى للحاصل.

لأي دالة $f$: $\hat{x}\hat{p}f-\hat{p}\hat{x}f=-i\hbar xf’+i\hbar(f+xf’)=i\hbar f$. بالتعويض في متباينة روبرتسون: $\sigma_x\sigma_p\ge\tfrac12|i\hbar|=\hbar/2$.

متقدماحسب الحاصل للحالة الأرضية في صندوق لانهائي عرضه $L$.

$\langle x\rangle=L/2$، $\langle x^{2}\rangle=L^{2}(\tfrac13-\tfrac{1}{2\pi^{2}})$، فـ$\sigma_x=L\sqrt{\tfrac1{12}-\tfrac{1}{2\pi^{2}}}$. و$\langle p\rangle=0$، $\langle p^{2}\rangle=\pi^{2}\hbar^{2}/L^{2}$. الحاصل $\tfrac{\hbar}{2}\sqrt{\pi^{2}/3-2}\approx0.5679\,\hbar$، أكبر من الحد بنسبة $1.1357$.

المراجع

البحث الأصليHeisenberg, W. (1927). Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik. Zeitschrift für Physik, 43(3–4), 172–198. https://doi.org/10.1007/BF01397280
الصيغة الدقيقةKennard, E. H. (1927). Zur Quantenmechanik einfacher Bewegungstypen. Zeitschrift für Physik, 44(4–5), 326–352. https://doi.org/10.1007/BF01391200
التعميمRobertson, H. P. (1929). The uncertainty principle. Physical Review, 34(1), 163–164. https://doi.org/10.1103/PhysRev.34.163
تحقق حديثNairz, O., Arndt, M., & Zeilinger, A. (2002). Experimental verification of the Heisenberg uncertainty principle for fullerene molecules. Physical Review A, 65(3), 032109. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.65.032109
الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
كتاب منهجيGriffiths, D. J., & Schroeter, D. F. (2018). Introduction to quantum mechanics (3rd ed.). Cambridge University Press. (Ch. 1 and 3)
كتاب منهجيEisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (2nd ed.). Wiley. (Ch. 3)

كود إعادة الإنتاج

سكربت Python يحسب $\sigma_x$ و$\sigma_p$ لأي دالة موجة على شبكة، مع توزيع الزخم بتحويل فورييه السريع، ويتحقق من الحد للحزمة الغاوسية والصندوق والمذبذب والهيدروجين، ويحسب أمثلة الصفحة، ثم يرسم الحزم في الموضع والزخم.

#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the uncertainty-principle page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

h, e, c = 6.62607015e-34, 1.602176634e-19, 299_792_458.0      # exact
hbar = h / (2 * np.pi)
m_e, m_p, m_u, a0 = 9.1093837015e-31, 1.67262192369e-27, 1.66053906660e-27, 5.29177210903e-11   # CODATA 2018

def spreads(x, psi):
    """sigma_x and sigma_p (SI) of psi on a uniform grid; momentum density by FFT."""
    dx = x[1] - x[0]
    rho = np.abs(psi)**2; rho /= rho.sum() * dx
    mx = (x * rho).sum() * dx; sx = np.sqrt(((x - mx)**2 * rho).sum() * dx)
    k = np.fft.fftfreq(len(x), dx) * 2 * np.pi
    rk = np.abs(np.fft.fft(psi))**2; rk /= rk.sum()
    mk = (k * rk).sum(); sk = np.sqrt(((k - mk)**2 * rk).sum())
    return sx, hbar * sk

print(f"hbar = {hbar:.10e} J s = {hbar/e:.7e} eV s")
x = np.linspace(-40e-9, 40e-9, 2**16)
sx, sp = spreads(x, np.exp(-x**2 / (4 * (0.5e-9)**2)))
print(f"Gaussian:        sx*sp/hbar = {sx*sp/hbar:.5f}   (bound 0.5)")
L = 1e-9; x = np.linspace(-20 * L, 20 * L, 2**16)
sx, sp = spreads(x, np.where((x > 0) & (x < L), np.sin(np.pi * x / L), 0.0))
print(f"box ground state sx*sp/hbar = {sx*sp/hbar:.4f}   exact {0.5*np.sqrt(np.pi**2/3-2):.4f}")
x0 = 1e-9; x = np.linspace(-40 * x0, 40 * x0, 2**14)
sx, sp = spreads(x, (x / x0) * np.exp(-x**2 / (2 * x0**2)))
print(f"oscillator n=1   sx*sp/hbar = {sx*sp/hbar:.4f}   exact 1.5")
print(f"hydrogen 1s      sx*sp/hbar = {1/np.sqrt(3):.4f}   (<x^2> = a0^2, <px^2> = hbar^2/3a0^2)")

sp = hbar / (2 * a0)
print(f"electron, sx = a0: sp = {sp:.3e} kg m/s, KE = {sp**2/(2*m_e)/e:.2f} eV, sv = {sp/m_e/1e3:.0f} km/s")
spn = hbar / (2 * 2e-15)
print(f"proton, sx = 2 fm: KE = {spn**2/(2*m_p)/e/1e6:.2f} MeV;  electron: KE = {(np.hypot(spn*c, m_e*c**2) - m_e*c**2)/e/1e6:.0f} MeV")
print(f"1 g ball, sx = 1 um: sv >= {hbar/(2*1e-6)/1e-3:.1e} m/s")
print(f"electron, sx = 0.5 nm: sp = {hbar/1e-9:.3e} kg m/s, sv = {hbar/1e-9/m_e/1e3:.0f} km/s")
for s, m, name, unit, f in ((1e-9, m_e, "electron 1 nm", "fs", 1e15), (1e-6, m_e, "electron 1 um", "ns", 1e9), (1e-9, 720 * m_u, "C60 1 nm", "ns", 1e9)):
    print(f"spreading time tau = 2 m s^2/hbar, {name}: {2*m*s**2/hbar*f:.1f} {unit}")
tau = 10e-9
print(f"lifetime 10 ns: Gamma = {hbar/tau/e*1e9:.1f} neV, width = {1/(2*np.pi*tau)/1e6:.2f} MHz")
lam = h / np.sqrt(2 * m_e * 54 * e)
print(f"54 eV electron: lambda = {lam*1e9:.4f} nm, first minimum behind a 0.5 nm slit at {np.degrees(np.arcsin(lam/0.5e-9)):.1f} deg")

xs = np.linspace(-3, 3, 600); ps = np.linspace(-6, 6, 600)
fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3.5))
for s in (0.25, 0.5, 1.0):
    ax1.plot(xs, np.exp(-xs**2 / (2 * s**2)) / (np.sqrt(2 * np.pi) * s), label=f"sigma_x = {s} nm")
    q = 1 / (2 * s); ax2.plot(ps, np.exp(-ps**2 / (2 * q**2)) / (np.sqrt(2 * np.pi) * q))
ax1.set_xlabel("x (nm)"); ax2.set_xlabel("p (hbar/nm)"); ax1.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()