تجربة تعيين المقاومة الداخلية للخلية الكهربائية ودراسة أقصى نقل للقدرة
مختبر الفيزياء الكهربية
تهدف هذه التجربة إلى تحقيق الأغراض التعليمية والبحثية التالية:
في الواقع العملي، لا توجد خلية كهربائية مثالية؛ فكل خلية حقيقية تمتلك مقاومة داخلية (r) تنشأ بسبب المقاومة الكهربائية لمواد الأقطاب والمحلول الإلكتروليتي داخل الخلية نفسها.
عند توصيل خلية حقيقية بقوة دافعة كهربائية (E) ومقاومة داخلية (r) عبر مقاومة خارجية (R)، فإن التيار المار في الدائرة يعطى بالعلاقة:
والجهد الطرفي عبر المقاومة الخارجية (الذي يقيسه الفولتميتر) يكون:
وهذه العلاقة الأخيرة تُسمى معادلة الخلية الحقيقية، وهي علاقة خطية بين V و I ذات ميل سالب يساوي (-r) وتقاطع صادي يساوي (E).
أما القدرة المستنفذة في المقاومة الخارجية فتُحسب من:
لإيجاد قيمة المقاومة R التي تعطي أقصى قدرة، نأخذ المشتقة الأولى للقدرة P بالنسبة لـ R ونساويها بصفر:
وهذا هو نظرية أقصى نقل للقدرة: تُنتقل أقصى قدرة من المصدر إلى الحمل عندما تكون المقاومة الخارجية مساوية للمقاومة الداخلية للمصدر.
وبالتعويض عن R = r في معادلة القدرة نحصل على:
ونسبة الكفاءة عند أقصى قدرة تكون:
| # | R (Ω) | I (A) | V (V) | P = V×I (W) | V + I·r (V) |
|---|
قمة المنحنى تمثل أقصى قدرة ممكنة، وتحدث عندما R = r (نظرية أقصى نقل للقدرة).
علاقة خطية: الميل السالب = -r ، التقاطع الصادي = E. يُستخدم الانحدار الخطي.
اضغط على كل سؤال لعرض الإجابة النموذجية. حاول الإجابة بنفسك أولاً.
القوة الدافعة الكهربائية (E) هي الطاقة الممنوحة لكل وحدة شحنة من قبل المصدر (الخلية)، وهي خاصية ثابتة للمصدر نفسه لا تعتمد على الدائرة الخارجية.
أما الجهد الطرفي (V) فهو الفرق في الجهد بين قطبي الخلية عند توصيلها بدائرة خارجية، وهو أصغر من E بسبب سقوط الجهد في المقاومة الداخلية: V = E - I·r.
عندما تكون الدائرة مفتوحة (I = 0) يكون V = E بالضبط.
النظرية: تنتقل أقصى قدرة من مصدر إلى حمل خارجي عندما تكون مقاومة الحمل مساوية للمقاومة الداخلية للمصدر (R = r).
البرهان: القدرة المُستنفذة في R هي:
نأخذ المشتقة بالنسبة لـ R ونساويها بصفر:
بما أن البسط يجب أن يساوي صفراً:
وبالتحقق من المشتقة الثانية نجد أنها سالبة عند R = r، مما يؤكد أنها قيمة عظمى.
عند R = r، تكون الكفاءة:
هذا يعني أن نصف القدرة تُبدد كحرارة في المقاومة الداخلية للخلية.
في التطبيقات العملية: لا يُفضَّل العمل عند أقصى قدرة في أنظمة توزيع الطاقة الكهربائية لأن الكفاءة المنخفضة تعني هدراً كبيراً. يُستخدم هذا المبدأ أساساً في دوائر الإشارات والاتصالات حيث نحتاج أقصى قدرة ممكنة في الحمل وليس أعلى كفاءة.
من العلاقة: V = E - I·r نلاحظ أنها معادلة خط مستقيم بصيغة y = a + bx حيث:
لذلك: r = |الميل| = |ΔV / ΔI| و E = التقاطع مع محور V عند I = 0.
يُستخدم التحليل الخطي (المربعات الصغرى) للحصول على أدق تقدير للميل والتقاطع بدلاً من أخذ نقطتين فقط.
من منحنى P-R: نحدد القمة بالعين أو بتقريب النقاط، وهذه طريقة تقريبية لأن المنحنى في منطقة القمة يكون مسطحاً مما يصعب تحديد القمة بدقة.
من خط V-I: نستخدم الانحدار الخطي (المربعات الصغرى) الذي يأخذ في الاعتبار جميع نقاط البيانات معاً ويعطي أفضل خط ملائم رياضياً.
النتيجة: طريقة خط V-I أدق بشكل عام لأنها تعتمد على تحليل رياضي دقيق لجميع النقاط، بينما طريقة P-R تعتمد على تحديد القمة بصرياً وهو عرضة للخطأ البشري.
الأميتر يجب أن يكون مقاومته الداخلية صفرية (أو مهملة) ليقيس التيار الحقيقي دون التأثير على الدائرة. إذا كانت مقاومته الداخلية عالية:
الخلاصة: يجب دائماً استخدام أميتر ذي مقاومة داخلية منخفضة جداً (مثالي = صفر) وفولتميتر ذي مقاومة داخلية عالية جداً (مثالي = ما لا نهاية).
بعد إجراء التجربة واستخراج قيمة r من خط V-I، نحسب:
نقارن هذه القيمة بأقصى قدرة مسجلة في جدول البيانات عند R ≈ r. النسبة المئوية للخطأ:
إذا كانت النسبة أقل من 5% فالنتائج ممتازة. الخطأ ينتج أساساً من أن R لا تساوي r بالضبط (بسبب التدرج الصحيح لقيم R).