تجربة استطارة رذرفورد (Rutherford Scattering)

أولاً: السياق التاريخي والنموذج السابق

قبل تجربة رذرفورد (1911)، كان نموذج طومسون (1904) هو النموذج السائد لتركيب الذرة. افترض هذا النموذج أن الشحنة الموجبة موزعة بانتظام في كرة ذات نصف قطر يقدر بـ $10^{-10}$ m، وتتخللها الإلكترونات السالبة كالزبيب في الفطيرة.

تنبؤات نموذج طومسون بالتشتت: بناءً على نظرية التشتت المتعدد (Multiple Scattering) لتومسون، فإن الزاوية الأكثر احتمالاً للتشتت هي صفر، واحتمال تشتت جسيمة ألفا بزاوية تتجاوز $90^\circ$ يُقدّر بـ $\sim 10^{-3500}$ (أي مستحيل عملياً).

ثانياً: نموذج رذرفورد والافتراضات الأساسية

لافتراض نواة نقطية صغيرة جداً ذات شحنة $+Ze$ وكتلة مركزة، تخضع جسيمة ألفا (شحنة $+ze$، كتلة $m$) لقوة كولوم المركزية التنافرية أثناء مرورها. يُفترض ما يلي:

1. التشتت المفرد (Single Scattering): الرقاقة رقيقة جداً لدرجة أن احتمال تعرض الجسيمة لأكثر من تشتت واحد مهمل.
2. النواة النقطية (Point Nucleus): مسافة أقرب اقتراب أكبر بكثير من نصف قطر النواة الفعلي، فلا تتدخل القوى النووية.
3. قوة كولوم النقية: لا يوجد حجب أو shielding من إلكترونات الذرة.
4. سكون النواة: كتلة النواة ($\sim 200u$) كبيرة جداً مقارنة بجسيمة ألفا ($4u$)، فلا تتحرك النواة بشكل ملحوظ.
5. غير نسبي: سرعة جسيمة ألفا أقل بكثير من سرعة الضوء ($v \approx 0.05c$ لطاقة 5 MeV).

ثالثاً: معلمة الاصطدام وزاوية التشتت

ترتبط زاوية التشتت $\theta$ بمعلمة الاصطدام $b$ بالعلاقة:

$ b = \dfrac{a}{2} \cot\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \qquad\text{حيث}\qquad a = \dfrac{zZe^2}{4\pi\varepsilon_0 K} $

الكمية $a$ تمثل مسافة أقرب اقتراب في التصادم المركزي (Head-on Collision, $\theta=180^\circ$). للذهب عند طاقة 5 MeV: $a \approx 45.5\;\text{fm}$.

رابعاً: صيغة رذرفورد للمقطع العرضي التفاضلي

$ \dfrac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\dfrac{a}{4}\right)^2 \dfrac{1}{\sin^4(\theta/2)} = \left(\dfrac{zZe^2}{16\pi\varepsilon_0 K}\right)^2 \dfrac{1}{\sin^4(\theta/2)} $

وعدد الجسيمات المشتتة:

$ N(\theta) = n \, t \, I_0 \, \dfrac{d\sigma}{d\Omega} \, \Delta\Omega $

حيث: $n$ = الكثافة العددية لذرات الهدف، $t$ = سُمك الرقاقة، $I_0$ = تدفق جسيمات ألفا، $\Delta\Omega$ = الزاوية الصلبة للكاشف.

خامساً: طريقة التحقق التجريبي

$ N(\theta) \sin^4(\theta/2) = n \, t \, I_0 \, \Delta\Omega \left(\dfrac{a}{4}\right)^2 = \text{ثابت} $

رسم $N(\theta)\sin^4(\theta/2)$ مقابل $\theta$ يجب أن يعطي خطاً أفقياً. هذا هو الاختبار الحاسم.

سادساً: حدود صحة صيغة رذرفورد

• اقتراب $r_{\min}$ من نصف قطر النواة $R_N \approx r_0 A^{1/3}$ (حيث $r_0 \approx 1.2$ fm) فتظهر القوى النووية.
• الرقاقة سميكة فيسود التشتت المتعدد.
• طاقة ألفا عالية جداً فتظهر التأثيرات النسبية.