الهدف من التجربة
تهدف هذه التجربة الافتراضية إلى تحقيق المخرجات التعليمية التالية:
- التحقق التجريبي من العلاقة النظرية بين سرعة الدوران المغزلي \(\omega\) وسرعة المبادرة \(\Omega\) للجيروسكوب.
- حساب عزم القصور الذاتي \(I\) لقرص دوار كتلته \(M\) ونصف قطره \(R\) والتحقق من القيمة النظرية \(I = \frac{1}{2}MR^2\).
- فهم ميكانيكية حفظ الزخم الزاوي وكيف يمنع سقوط الجيروسكوب تحت تأثير الجاذبية.
- تحليل العلاقة العكسية بين \(\Omega\) و\(\omega\) ورسمها بيانيًا مع حساب ميل الخط المستقيم الناتج.
- تقدير عدم اليقين في القياسات وتحليل مصادر الخطأ المنهجي والعشوائي.
ملاحظة: هذه المحاكاة تعتمد تقريب الدوران المنتظم (Steady Precession) وتتجاهل تأثير الارتعاش (Nutation) الذي يظهر عند السرعات المنخفضة.
الخلفية النظرية
تعريف سرعة المبادرة (Precession Speed)
سرعة المبادرة \(\Omega\) هي السرعة الزاوية التي يدور بها محور الجيروسكوب حول المحور الرأسي (عمود الارتكاز) نتيجة تأثير عزم خارجي — كعزم الجاذبية — على نظام يمتلك زخمًا زاويًا كبيرًا. بدلاً من أن يسقط الجيروسكوب تحت تأثير وزنه، ينجذب محوره نحو الاتجاه العمودي على العزم المؤثر، مما ينتج عنه حركة دورانية بطيئة لمحوره حول المحور الرأسي تُعرف بـ المبادرة. وتُسمى أيضًا التردد الزاوي للمبادرة أو معدل المبادرة (Precession Rate).
الرموز والوحدات المستخدمة
| الرمز | المعنى | الوحدة | ملاحظات |
|---|---|---|---|
| \(\Omega\) | سرعة المبادرة (التردد الزاوي للمبادرة) | rad/s | المُخرج الرئيسي للتجربة |
| \(\omega\) | سرعة الدوران المغزلي (Spin Angular Velocity) | rad/s | المتغير المستقل |
| \(M\) | كتلة القرص الدوار | kg | تختصر من معادلة المبادرة المبسطة |
| \(R\) | نصف قطر القرص الدوار | m | يدخل مربعًا في المعادلة |
| \(d\) | المسافة الأفقية من نقطة الارتكاز إلى مركز ثقل القرص | m | طول الذراع |
| \(I\) | عزم القصور الذاتي للقرص حول محوره | kg·m² | \(I = \frac{1}{2}MR^2\) لقرص مصمت |
| \(L\) | الزخم الزاوي للقرص | kg·m²/s | \(L = I\omega\) |
| \(\tau\) | عزم الدوران الخارجي المؤثر (Torque) | N·m | \(\tau = Mgd\) |
| \(g\) | تسارع الجاذبية الأرضية | m/s² | ثابت ≈ 9.81 |
| \(T\) | زمن دورة المبادرة الكاملة | s | \(T = \frac{2\pi}{\Omega}\) |
الجيروسكوب هو جسم صلب يدور حول محوره بسرعة زاوية عالية \(\omega\)، ويمتلك زخمًا زاويًا كبيرًا \(\vec{L}\). عند تطبيق عزم خارجي \(\vec{\tau}\)، لا يسقط الجيروسكوب بل يدور محوره حول الاتجاه الرأسي في حركة تُسمى المبادرة (Precession).
أولاً: الزخم الزاوي للقرص
لقرص كتلته \(M\) ونصف قطره \(R\) يدور حول محوره المار بمركزه:
$$ I = \frac{1}{2} M R^2 \qquad\qquad L = I \omega $$
ثانيًا: العزم الخارجي المؤثر
إذا كان مركز ثقل القرص على بُعد \(d\) من نقطة الارتكاز، فإن وزن القرص يولّد عزمًا:
$$ \tau = M g d $$
ثالثًا: معادلة سرعة المبادرة
بتساوي معدل تغيّر الزخم الزاوي مع العزم المؤثر \(\tau = \Omega L\)، نحصل على:
$$ \Omega = \frac{\tau}{L} = \frac{M g d}{I \omega} = \frac{2 g d}{R^2 \omega} $$
ملاحظة مهمة: لاحظ أن الكتلة \(M\) تختصر من المعادلة الأخيرة. هذا يعني أن سرعة المبادرة لا تعتمد على كتلة القرص بل على هندسة (\(R, d\)) وسرعة دورانه (\(\omega\)). يمكن التحقق من ذلك تجريبيًا بتغيير الكتلة فقط وملاحظة ثبات \(\Omega\).
رابعًا: العلاقة الخطية المستخدمة في التحليل
بإعادة ترتيب المعادلة نحصل على علاقة خطية:
$$ \Omega = \underbrace{\left(\frac{2 g d}{R^2}\right)}_{\text{ميل الخط } m} \cdot \frac{1}{\omega} $$
رسم \(\Omega\) مقابل \(\frac{1}{\omega}\) يعطي خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل وميله \(m = \frac{2gd}{R^2}\).
الأدوات والمعدات الافتراضية
قرص دوار
كتلة ونصف قطر قابلان للتعديل
ذراع ارتكاز
مسافة بين مركز القرص ونقطة الارتكاز قابلة للتعديل
مُحرّك سرعة
التحكم بسرعة الدوران المغزلي \(\omega\)
أدوات التحليل
رسم بياني، جدول بيانات، تصدير CSV
خطوات إجراء التجربة
- انتقل إلى تبويب المحاكاة وأدخل المعاملات الفيزيائية الأولية.
- اضغط "تشغيل المحاكاة" وشاهد الحركة ثلاثية الأبعاد (يمكنك تدوير الكاميرا بالسحب).
- سجّل قيمة \(\Omega\) الناتجة من لوحة النتائج.
- اضغط "حفظ هذه القراءة" لتخزينها ضمن التجارب المحفوظة.
- غيّر قيمة \(\omega\) فقط (مع إبقاء باقي المعاملات ثابتة) وأعد الخطوات 2-4. كرر لـ 5-6 قراءات.
- انتقل إلى تبويب التحليل البياني لرسم \(\Omega\) مقابل \(1/\omega\) ومقارنة الميل التجريبي بالنظري.
- انتقل إلى تبويب تحليل الأخطاء لحساب عدم اليقين في النتائج.
- صدّر البيانات إلى ملف CSV لكتابة التقرير.
نصيحة منهجية: اختر قيم \(\omega\) متفرقة (مثلاً: 40, 60, 80, 100, 120, 150 راديان/ثانية) للحصول على تمثيل جيد للعلاقة الخطية.
المحاكاة ثلاثية الأبعاد
kg
m
m
rad/s
النتائج المحسوبة
عزم القصور الذاتي (I)
—
kg·m²
الزخم الزاوي (L)
—
kg·m²/s
العزم المؤثر (τ)
—
N·m
سرعة المبادرة (Ω)
—
rad/s
المبادرة: 0.000 rad/s
المغزل: 0 rad/s
المغزل: 0 rad/s
اسحب للتدوير • عجلة الماوس للتقريب
جدول البيانات الزمني
لم يتم تشغيل المحاكاة بعد.
القراءات المحفوظة
لم يتم حفظ أي قراءات بعد.
التحليل البياني
زاوية المبادرة مع الزمن (آخر تشغيل)
العلاقة بين Ω و \(1/\omega\) (القراءات المحفوظة)
رسم هذه العلاقة يُنتج خطًا مستقيمًا ميله النظري \(m = 2gd/R^2\)
تحليل الأخطاء وعدم اليقين
يُستخدم أسلوب انتشار عدم اليقين (Uncertainty Propagation) لحساب الخطأ في سرعة المبادرة \(\Omega\):
$$ \frac{\delta\Omega}{\Omega} = \sqrt{ \left(\frac{\delta d}{d}\right)^2 + \left(\frac{2\delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\delta\omega}{\omega}\right)^2 } $$
أدخال عدم اليقين في القياسات
m
m
rad/s
kg
مصادر الخطأ في التجربة الحقيقية
| مصدر الخطأ | النوع | التأثير | التخفيف |
|---|---|---|---|
| احتكاك المحامل | منهجي | يُبطئ \(\omega\) | تزييت جيد |
| الارتعاش (Nutation) | منهجي | انحراف عن التقريب | \(\omega\) عالية |
| عدم دقة الأداة | عشوائي | \(\delta R, \delta d, \delta\omega\) | أدوات دقيقة |
| مقاومة الهواء | منهجي | تبطئ الدوران | فراغ مثالي |
| عدم تماثل القرص | منهجي | تغيّر في \(I\) | تصنيع دقيق |