معادلة ديود شوكلي
معادلة واحدة تصف كيف يمرر الديود التيار في اتجاه ويمنعه في الآخر، وعليها تقوم الإلكترونيات وخلايا الطاقة الشمسية.
نص القانون
التيار المار في وصلة p-n مثالية يرتبط بالجهد المطبق عليها بالعلاقة:
$$I=I_0\left[\exp\!\left(\frac{qV}{nkT}\right)-1\right]$$حيث \(V\) موجب في الانحياز الأمامي (الطرف p أعلى جهداً)، و\(I_0\) تيار الإشباع العكسي، و\(n\) معامل المثالية: يساوي 1 في نظرية شوكلي، ويقترب من 2 حين تغلب إعادة الاتحاد داخل منطقة الاستنزاف.
ويحسب شوكلي تيار الإشباع من خواص المادة:
$$I_0=qA\,n_i^{2}\left(\frac{D_p}{L_pN_d}+\frac{D_n}{L_nN_a}\right),\qquad L=\sqrt{D\tau}$$المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(I\) | تيار الديود | A | \(\mathsf{I}\) |
| \(V\) | الجهد على الوصلة | V | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}}\) |
| \(I_0\) | تيار الإشباع العكسي | A | \(\mathsf{I}\) |
| \(n\) | معامل المثالية | 1–2 | \(1\) |
| \(kT/q\) | الجهد الحراري | 25.85 mV (300 K) | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}}\) |
| \(n_i\) | التركيز الذاتي للحاملات | m⁻³ (cm⁻³) | \(\mathsf{L^{-3}}\) |
| \(D,\ L\) | معامل الانتشار وطول الانتشار | m²·s⁻¹ ، m | \(\mathsf{L^{2}\,T^{-1}},\ \mathsf{L}\) |
| \(N_a,\ N_d\) | تركيز الشوائب المستقبلة والمانحة | m⁻³ | \(\mathsf{L^{-3}}\) |
\(q\) و\(k\) مضبوطان منذ 2019، فالجهد الحراري \(kT/q\) يساوي 25.85 mV عند 300 K. وتركيز الحاملات الذاتي في السيليكون عند هذه الدرجة \(1.00\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\).
المعنى الفيزيائي
في الوصلة حاجز جهد يمنع الإلكترونات من الانتقال من الجانب n إلى p، والفجوات من p إلى n. الجهد الخارجي يغيّر ارتفاع هذا الحاجز:
- الانحياز الأمامي يخفض الحاجز بمقدار \(qV\)، فيزداد عدد الحاملات القادرة على عبوره بعامل بولتزمان \(e^{qV/kT}\). لهذا يزداد التيار عشرة أضعاف كل 59.5 mV عند درجة الغرفة.
- الانحياز العكسي يرفع الحاجز فيتوقف تيار الحاملات الأغلبية، ويبقى تيار صغير من الحاملات الأقلية التي تولّدها الحرارة قرب الوصلة، وهو \(-I_0\).
- الحاملات المحقونة تصير أقلية في الجانب الآخر، فتنتشر وتتحد مع الأغلبية خلال طول الانتشار \(L\). معدل هذا الانتشار هو الذي يحدد التيار.
وبما أن \(I_0\propto n_i^{2}\) و\(n_i\) يتضاعف بسرعة مع الحرارة، فالديود حساس جداً لدرجة الحرارة: عند تيار ثابت ينخفض جهده نحو 2 mV لكل كلفن.
الاشتقاق
1. قانون الوصلة
في الاتزان يتوازن تيارا الانجراف والانتشار في منطقة الاستنزاف، فتتبع التركيزات توزيع بولتزمان عبر الحاجز. وحين يُطبق جهد صغير يبقى هذا التوازن تقريباً، فيصير تركيز الفجوات على حافة الجانب n:
$$p_n(0)=p_{n0}\,e^{qV/kT},\qquad p_{n0}=\frac{n_i^{2}}{N_d}$$2. معادلة الانتشار
في الجانب n المتعادل لا يوجد مجال، فتنتشر الفجوات الزائدة وتتحد بعمر \(\tau_p\):
$$D_p\frac{d^{2}\Delta p}{dx^{2}}=\frac{\Delta p}{\tau_p}\ \Rightarrow\ \Delta p(x)=p_{n0}\left(e^{qV/kT}-1\right)e^{-x/L_p}$$3. التيار
كثافة تيار الفجوات عند حافة المنطقة \(J_p=-qD_p\,d\Delta p/dx\) عند \(x=0\)، أي \(qD_pp_{n0}/L_p\,(e^{qV/kT}-1)\). وبالمثل للإلكترونات المحقونة في الجانب p. وبما أن منطقة الاستنزاف رقيقة ولا يُفقد فيها شيء في نموذج شوكلي، فالتيار الكلي مجموع الاثنين مضروباً في المساحة، وهي معادلة القسم 2 بـ \(n=1\).
4. معامل المثالية
بيّن ساه ونويس وشوكلي (1957) أن الإلكترونات والفجوات تتحد أيضاً داخل منطقة الاستنزاف عبر مستويات في منتصف الفجوة، وأقصى معدل لذلك يتناسب مع \(n_ie^{qV/2kT}\)، فيضاف تيار ميله نصف ميل تيار الانتشار:
$$I_{\mathrm{rec}}\approx\frac{qAn_iW}{2\tau_0}\left(e^{qV/2kT}-1\right)$$في الديود التمثيلي في هذه الصفحة يغلب هذا التيار تحت 0.419 V، ويغلب تيار الانتشار فوقها.
السياق التاريخي
استُعمل التقويم في البلورات عقوداً قبل أن تفسّره نظرية، ثم جاء تفسيره ضمن الجهد الذي أنتج الترانزستور.
- 1874فرديناند براون يلاحظ أن التلامس بين معدن وبلورة كبريتيد يمرر التيار في اتجاه أكثر من الآخر.
- 1940راسل أول في مختبرات بل يكتشف وصلة p-n في قضيب سيليكون، ويلاحظ أنها تولّد جهداً عند إضاءتها.
- 1947باردين وبراتين يصنعان أول ترانزستور بنقطة تلامس.
- 1949شوكلي ينشر في مجلة بل التقنية نظرية الوصلة: قانون الوصلة، ومعادلة الانتشار، وتيار الإشباع، ومنها يستنتج ترانزستور الوصلة.
- 1954تشابين وفولر وبيرسون في مختبرات بل يصنعون أول خلية شمسية سيليكونية عملية، وهي ديود كبير المساحة.
- 1956شوكلي وباردين وبراتين ينالون جائزة نوبل في الفيزياء.
- 1957ساه ونويس وشوكلي يفسّرون انحراف ديودات السيليكون عن النظرية بتيار إعادة الاتحاد في منطقة الاستنزاف، فيظهر معامل المثالية \(n\approx2\).
حدود الصلاحية
- الحقن المنخفض: النظرية تفترض أن الحاملات المحقونة أقل كثيراً من الأغلبية. عند التيارات العالية يقترب \(n\) من 2 مرة أخرى.
- مقاومة التوالي: جسم البلورة والتلامسات تضيف هبوطاً \(IR_s\). في الديود التمثيلي بـ 0.5 Ω يضيف 50 mV عند 100 mA، فيصير الجهد 0.779 V بدل 0.729 V.
- التيارات الصغيرة: في السيليكون يغلب تيار إعادة الاتحاد عند الجهود الأمامية الصغيرة، وتيار التوليد في الانحياز العكسي. عند −5 V يكون التيار العكسي في الديود التمثيلي \(7.0\times10^{-10}\ \mathrm{A}\)، أي نحو \(12429\) ضعف \(I_0\).
- الانهيار: عند جهد عكسي كبير يتضاعف التيار بالتصادم أو بالنفق (زينر)، والمعادلة لا تصف ذلك.
- درجة الحرارة: تدخل عبر \(kT/q\) وعبر \(n_i^{2}\) أساساً. يُفترض في هذه الصفحة أن الحركية والعمر لا يتغيران مع الحرارة، وهو تقريب.
المحاكاة في القسم 7 تضيف مركّبة إعادة الاتحاد ومقاومة التوالي اختيارياً، فيظهر أين تصح المعادلة المثالية.
المحاكاة التفاعلية
ديود سيليكون p⁺n تمثيلي. غيّر درجة الحرارة ومقاومة التوالي وعمر الحاملات، واختر تيار التشغيل، فتُحسب منحنيات التيار والجهد من نموذج شوكلي مع تصحيح ساه ونويس وشوكلي، وتُقرأ القيم عند نقطة التشغيل.
- تيار الإشباع \(I_0\)
- —
- الجهد عند تيار التشغيل
- —
- معامل المثالية المحلي \(n\)
- —
- المقاومة الديناميكية \(dV/dI\)
- —
- معامل الحرارة \(dV/dT\)
- —
- التيار عند انحياز عكسي 5 V
- —
الديود: \(A=1\ \mathrm{mm^{2}}\)، \(N_a=10^{18}\) و\(N_d=10^{16}\ \mathrm{cm^{-3}}\)، \(\mu_p=450\) و\(\mu_n=270\ \mathrm{cm^{2}/V\,s}\)، \(\tau_p=1\ \mu\mathrm{s}\) و\(\tau_n=0.1\ \mu\mathrm{s}\) و\(\tau_0=1\ \mu\mathrm{s}\) (قيم تمثيلية). \(n_i(T)\) من قيمة سبرول وغرين عند 300 K مع \(T^{3/2}e^{-E_g/2kT}\) وفجوة بلوداو وزملائه. «عمر الحاملات» يضرب الأعمار الثلاثة معاً. المعامل \(n\) المحلي من ميل المنحنى نفسه \(\frac{q}{kT}\big(\frac{d\ln I}{dV}\big)^{-1}\) دون مقاومة التوالي.
التحقق التجريبي
التجارب الحاسمة
قاس ساه ونويس وشوكلي منحنيات ديودات سيليكون على مدى واسع من التيار، فوجدوا ميلاً يقابل \(n\approx2\) عند التيارات الصغيرة ثم \(n\approx1\) عند المتوسطة، كما يتنبأ النموذج بعد إضافة إعادة الاتحاد. وفي ديودات الجرمانيوم، حيث \(n_i\) أكبر بكثير، يتفق المنحنى مع معادلة شوكلي المثالية على مدى أوسع.
ومن الاختبارات الدقيقة الحديثة قياس سبرول وغرين للتركيز الذاتي في السيليكون من خواص ديودات وخلايا شمسية بين 275 و375 K، فاعتُمدت القيمة \(1.00\times10^{10}\ \mathrm{cm^{-3}}\) عند 300 K، وهي القيمة المستعملة في هذه الصفحة.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: منحنى ديود سيليكون
الإعداد: ديود إشارة سيليكوني (مثل 1N4148)، ومصدر جهد متغير مع مقاومة حماية، وجهازا قياس للتيار والجهد أو وحدة قياس مصدرية، ومقياس حرارة، وحمام مائي أو لوح تسخين صغير.
- قِس الجهد على الديود نفسه (لا على الدائرة) لتيارات من 1 µA إلى 10 mA، بنقطتين أو ثلاث لكل عقد.
- ارسم \(\ln I\) مقابل \(V\). الميل في المنطقة المستقيمة يساوي \(q/nkT\)، فاحسب منه \(n\)، ومن تقاطع الخط مع \(V=0\) احسب \(I_0\).
- لاحظ انحناء المنحنى عند التيارات الكبيرة، وقدّر \(R_s\) من الفرق بين الجهد المقيس والخط المستقيم مقسوماً على التيار.
- كرر عند عدة درجات حرارة. عند تيار ثابت ارسم \(V\) مقابل \(T\) لتجد معامل الحرارة، أو ارسم \(\ln(I_0/T^{3})\) مقابل \(1/T\) ليكون الميل قريباً من \(-E_g/k\).
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- التسخين الذاتي: القدرة \(IV\) ترفع حرارة الوصلة عند التيارات الكبيرة. استعمل نبضات قصيرة أو انتظر الاستقرار.
- مقاومة الأسلاك وأجهزة القياس: تُضاف إلى \(R_s\). استعمل القياس بأربعة أطراف إن أمكن.
- تيار تسرّب جهاز القياس: يغلب عند تيارات النانو أمبير، فلا تعتمد عليها في حساب \(I_0\).
- حرارة الوصلة: قد تختلف عن حرارة الحمام. أعطِ الديود وقتاً للاتزان.
مثال محلول: نقطة تشغيل ديود سيليكون
للديود التمثيلي في هذه الصفحة عند 300 K، احسب تيار الإشباع، ثم الجهد اللازم لتيار 1 mA و10 mA، والمقاومة الديناميكية، ثم أثر التسخين.
- معاملا الانتشار من علاقة أينشتاين \(D=\mu kT/q\): \(D_p=11.6\) و\(D_n=7.0\ \mathrm{cm^{2}/s}\)، وطولا الانتشار \(L_p\approx34\ \mu\mathrm{m}\) و\(L_n\approx8.4\ \mu\mathrm{m}\).
- تيار الإشباع: $$I_0=qAn_i^{2}\Big(\frac{D_p}{L_pN_d}+\frac{D_n}{L_nN_a}\Big)=5.6\times10^{-14}\ \mathrm{A}$$ نحو 97.6% منه فجوات محقونة في الجانب الأقل تطعيماً.
- الجهد عند 1 mA: \(V=\frac{kT}{q}\ln\big(\frac{I}{I_0}+1\big)\) ≈ 0.610 V، وعند 10 mA ≈ 0.670 V: عشرة أضعاف التيار بزيادة 59.5 mV فقط.
- المقاومة الديناميكية عند 1 mA: \(r_d=kT/qI\) ≈ 25.9 Ω.
- لو ارتفعت الحرارة إلى 350 K مع بقاء التيار 1 mA، يصير الجهد ≈ 0.494 V، لأن \(n_i\) يكبر نحو \(36\) مرة.
التطبيقات
| المجال | كيف تُستخدم المعادلة | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| التقويم ومصادر القدرة | تمرير التيار في اتجاه واحد لتحويل التيار المتردد إلى مستمر. | 1 mA → 0.610 V |
| الخلايا الشمسية | الخلية ديود مضاء، وجهد الدائرة المفتوحة \(V_{oc}=\frac{kT}{q}\ln(I_{sc}/I_0+1)\). | Isc = 30 mA → Voc ≈ 0.698 V |
| قياس الحرارة | جهد الديود عند تيار ثابت صغير ينخفض خطياً تقريباً مع الحرارة. | 10 µA: -2.71 mV/K |
| المضخمات اللوغاريتمية | الجهد يتناسب مع لوغاريتم التيار، فيضغط مدى واسعاً من الإشارات. | 59.5 mV لكل عقد |
| الثنائيات الضوئية والكواشف | في الانحياز العكسي التيار صغير وثابت تقريباً، فأي تيار ضوئي إضافي يُقاس بدقة. | I₀ ≈ 56 fA |
| مراجع الجهد | جمع جهد الديود (معامله سالب) مع جهد يتناسب مع \(kT/q\) (معامله موجب) يعطي جهداً قريباً من فجوة الطاقة لا يتغير بالحرارة. | Eg(300 K) = 1.124 eV |
مفاهيم خاطئة شائعة
جهد الديود السيليكوني 0.7 V دائماً.
الجهد يتغير مع التيار (59.5 mV لكل عقد) ومع الحرارة (نحو −2 mV/K). قيمة 0.7 V تقريب لتيارات المللي أمبير.
لا يمر أي تيار تحت جهد العتبة.
التيار أُسّي من الصفر، لا عتبة حادة. «العتبة» هي الجهد الذي يصير عنده التيار كبيراً بمقياس الدائرة.
التيار العكسي في السيليكون يساوي \(I_0\).
في السيليكون يغلب تيار التوليد في منطقة الاستنزاف، وهو أكبر بكثير من \(I_0\) ويزداد مع الجهد العكسي.
للديود مقاومة ثابتة.
المقاومة الديناميكية \(nkT/qI\) تتناقص مع التيار، من كيلو أوم عند الميكرو أمبير إلى أقل من أوم عند مئات المللي أمبير.
التسخين يرفع جهد الديود كما يرفع مقاومة المعادن.
عند تيار ثابت ينخفض الجهد مع الحرارة، لأن \(I_0\) يكبر أسرع بكثير من \(kT/q\).
أسئلة التقويم
أساسيما الجهد الحراري عند 300 K؟ وبكم يجب رفع الجهد ليتضاعف التيار عشر مرات في ديود مثالي؟
أساسيرفعنا الجهد الأمامي لديود مثالي 100 mV. بكم يتضاعف التيار؟
متوسطاحسب المقاومة الديناميكية لديود مثالي عند 1 mA و300 K.
متوسطلماذا ينخفض جهد الديود عند تيار ثابت حين يسخن؟ وكم يبلغ ذلك للديود التمثيلي؟
متقدمفي وصلة p⁺n، لماذا يكاد تيار الإشباع يكون كله فجوات محقونة في الجانب n؟
متقدمعند أي جهد يتساوى تيار إعادة الاتحاد مع تيار الانتشار في الديود التمثيلي؟ وما معامل المثالية تحته؟
المراجع
- البحث الأصليShockley, W. (1949). The theory of p-n junctions in semiconductors and p-n junction transistors. Bell System Technical Journal, 28(3), 435–489. https://doi.org/10.1002/j.1538-7305.1949.tb03645.x
- التصحيحSah, C.-T., Noyce, R. N., & Shockley, W. (1957). Carrier generation and recombination in P-N junctions and P-N junction characteristics. Proceedings of the IRE, 45(9), 1228–1243. https://doi.org/10.1109/JRPROC.1957.278528
- تحقق حديثSproul, A. B., & Green, M. A. (1991). Improved value for the silicon intrinsic carrier concentration from 275 to 375 K. Journal of Applied Physics, 70(2), 846–854. https://doi.org/10.1063/1.349645
- فجوة الطاقةBludau, W., Onton, A., & Heinke, W. (1974). Temperature dependence of the band gap of silicon. Journal of Applied Physics, 45(4), 1846–1848. https://doi.org/10.1063/1.1663501
- بيانات السيليكونGreen, M. A. (1990). Intrinsic concentration, effective densities of states, and effective mass in silicon. Journal of Applied Physics, 67(6), 2944–2954. https://doi.org/10.1063/1.345414
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- كتاب منهجيSze, S. M., & Ng, K. K. (2007). Physics of semiconductor devices (3rd ed.). Wiley. (Ch. 2)
- كتاب منهجيNeamen, D. A. (2012). Semiconductor physics and devices: Basic principles (4th ed.). McGraw-Hill. (Ch. 8)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يحسب \(n_i(T)\) وتيار الإشباع للديود التمثيلي، ويحل معادلة الانتشار عددياً ويقارنها بصيغة شوكلي، ويحسب نقاط التشغيل مع إعادة الاتحاد ومقاومة التوالي ومعامل الحرارة، ثم يرسم منحنى التيار والجهد على محور لوغاريتمي.
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the Shockley-diode page (shown in section 14)."""
import numpy as np
from scipy.linalg import solve_banded
import matplotlib.pyplot as plt
q, k = 1.602176634e-19, 1.380649e-23 # exact (SI 2019)
eps = 11.7 * 8.8541878128e-12 # silicon, eps0 from CODATA 2018
# representative p+n silicon diode (SI units)
A, Na, Nd = 1e-6, 1e24, 1e22 # 1 mm^2, 1e18 and 1e16 cm^-3
mup, mun, taup, taun, tau0, Rs = 450e-4, 270e-4, 1e-6, 1e-7, 1e-6, 0.5
Eg = lambda T: 1.1785 - 9.025e-5 * T - 3.05e-7 * T**2 # Bludau et al. (1974), eV
ni = lambda T: 1e16 * (T/300)**1.5 * np.exp(-q*Eg(T)/(2*k*T) + q*Eg(300)/(2*k*300)) # 1.00e10 cm^-3 at 300 K
def diode(T):
vt = k * T / q; Dp, Dn = mup * vt, mun * vt; Lp, Ln = np.sqrt(Dp * taup), np.sqrt(Dn * taun)
I0 = q * A * ni(T)**2 * (Dp / (Lp * Nd) + Dn / (Ln * Na))
Vbi = vt * np.log(Na * Nd / ni(T)**2)
W = lambda V: np.sqrt(2 * eps * np.maximum(Vbi - V, 1e-3) / (q * Nd))
I = lambda V, rec=True: I0 * np.expm1(V / vt) + (q * A * ni(T) * W(V) / (2 * tau0) * np.expm1(V / (2 * vt)) if rec else 0)
return vt, Dp, Lp, I0, Vbi, W, I
def V_at(I_target, T, rec=True, R=Rs):
I = diode(T)[6]; lo, hi = -1.0, diode(T)[4] - 0.01
for _ in range(200):
m = 0.5 * (lo + hi); lo, hi = (m, hi) if I(m, rec) < I_target else (lo, m)
return 0.5 * (lo + hi) + I_target * R
T = 300.0
vt, Dp, Lp, I0, Vbi, W, I = diode(T)
print(f"kT/q = {vt*1e3:.2f} mV, per decade = {vt*np.log(10)*1e3:.1f} mV, Eg = {Eg(T):.3f} eV, ni = {ni(T)/1e6:.3e} cm^-3")
print(f"Dp = {Dp*1e4:.1f} cm^2/s, Lp = {Lp*1e6:.0f} um, I0 = {I0:.2e} A, Vbi = {Vbi:.3f} V, W(0) = {W(0)*1e6:.2f} um")
# Shockley's diffusion problem solved numerically. With u = (p - pn0) / (pn0 (e^{V/vt} - 1)) and s = x / Lp the
# equation Dp p'' = (p - pn0)/taup becomes u'' = u, u(0) = 1, u(25) = 0 (finite differences, tridiagonal solve)
N = 20001; s_ = np.linspace(0, 25, N); h = s_[1] - s_[0]
ab = np.zeros((3, N - 2)); ab[0, 1:] = 1 / h**2; ab[1] = -2 / h**2 - 1; ab[2, :-1] = 1 / h**2
rhs = np.zeros(N - 2); rhs[0] = -1 / h**2
u = np.r_[1.0, solve_banded((1, 1), ab, rhs), 0.0]
print(f"hole current: numerical / Shockley = {-(-3*u[0] + 4*u[1] - u[2]) / (2*h):.6f} (exact 1)")
for It in (1e-3, 1e-2, 1e-1):
print(f"I = {It*1e3:5.0f} mA: ideal V = {V_at(It, T, False, 0):.3f} V, with recombination and Rs = {V_at(It, T):.3f} V")
print(f"r_d at 1 mA = {vt/1e-3:.1f} ohm; +100 mV multiplies I by {np.exp(0.1/vt):.0f}")
print(f"dV/dT at 1 mA = {(V_at(1e-3, T+0.5, False, 0) - V_at(1e-3, T-0.5, False, 0))*1e3:.2f} mV/K, "
f"V(1 mA, 350 K) = {V_at(1e-3, 350, False, 0):.3f} V, I0(310)/I0(300) = {diode(310)[3]/I0:.2f}")
lo, hi = 0.05, 0.75
for _ in range(100):
m = 0.5*(lo+hi); lo, hi = (m, hi) if I(m) - I(m, False) > I(m, False) else (lo, m)
print(f"recombination = diffusion at {0.5*(lo+hi):.3f} V; reverse current at -5 V = {-I(-5.0):.1e} A = {-I(-5.0)/I0:.0f} I0")
print(f"solar cell Isc = 30 mA: Voc = {vt*np.log(30e-3/I0 + 1):.3f} V")
Vj = np.linspace(0, 0.85, 1000)
for TT in (300, 350):
Ij = diode(TT)[6](Vj); keep = (Ij > 0) & (Vj + Ij*Rs < 0.9)
plt.semilogy(Vj[keep] + Ij[keep]*Rs, Ij[keep], label=f"{TT} K")
plt.ylim(1e-12, 1); plt.xlabel("V (V)"); plt.ylabel("I (A)"); plt.legend(); plt.grid(alpha=.3); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
