تكافؤ الكتلة والطاقة
الكتلة شكل من أشكال الطاقة: جسم ساكن كتلته m يحمل طاقة mc²، وكل تغير في طاقة نظام يغيّر كتلته.
نص القانون
لكل جسم كتلته \(m\) طاقة سكون، وهي طاقته وهو ساكن في إطار يقيسه:
$$E_0=mc^{2}$$وإذا تحرك بسرعة \(v\) صارت طاقته الكلية وزخمه:
$$E=\gamma mc^{2},\qquad p=\gamma mv,\qquad\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}$$ويربطهما قانون لا يتغير بتغير إطار القياس:
$$E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$$والصيغة التي كتبها أينشتاين أول مرة تخص التغير: إذا فقد جسم طاقة \(\Delta E\) على أي شكل نقصت كتلته بمقدار \(\Delta m=\Delta E/c^{2}\). ولذلك تكون كتلة نواة أقل من مجموع كتل مكوناتها بمقدار طاقة الربط مقسومة على \(c^{2}\)، وتُحسب طاقة أي تفاعل من فرق الكتل:
$$Q=\Big(\sum m_{\mathrm{initial}}-\sum m_{\mathrm{final}}\Big)c^{2}$$المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(E_0\) | طاقة السكون | J | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(m\) | الكتلة (كتلة السكون) | kg | \(\mathsf{M}\) |
| \(c\) | سرعة الضوء في الفراغ (مضبوطة) | 299 792 458 m·s⁻¹ | \(\mathsf{L\,T^{-1}}\) |
| \(c^{2}\) | طاقة الكيلوغرام الواحد | 8.988 × 10¹⁶ J·kg⁻¹ | \(\mathsf{L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(E\) | الطاقة الكلية | J | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(p\) | الزخم | kg·m·s⁻¹ | \(\mathsf{M\,L\,T^{-1}}\) |
| \(\gamma\) | عامل لورنتس | بلا وحدة | \(1\) |
| \(m_uc^{2}\) | طاقة وحدة الكتلة الذرية | 931.49410242 MeV | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
\(c\) مضبوطة بالتعريف، فـ\(c^{2}\) عدد مضبوط أيضاً: الكيلوغرام الواحد يكافئ \(8.987551787\times10^{16}\ \mathrm{J}\). وفي الفيزياء النووية تُستعمل وحدة الكتلة الذرية \(m_u=1.66053906660\times10^{-27}\ \mathrm{kg}\) التي تكافئ 931.49410242 MeV (CODATA 2018).
المعنى الفيزيائي
المعادلة لا تقول إن المادة «تتحول» إلى طاقة. تقول إن الكتلة مقياس لمحتوى الطاقة الداخلية لنظام ساكن، فكل ما يزيد هذه الطاقة يزيد الكتلة:
- الحرارة والحركة الداخلية: كوب شاي ساخن أثقل من نفسه بارداً، والفرق ضئيل جداً لأن \(c^{2}\) هائل.
- طاقة الربط: النواة المرتبطة طاقتها أقل من مكوناتها منفصلة، فكتلتها أقل. والفرق هو ما يتحرر في الاندماج والانشطار.
- الجسيمات الأولية: الإلكترون والبوزيترون يفنيان معاً فتظهر طاقة السكون كلها فوتونين، وفوتون عالي الطاقة يمكن أن ينتج زوجاً منهما.
الكمية التي لا تتغير بتغير الإطار هي \(m\)، الكتلة الثابتة. أما \(E\) و\(p\) فتتغيران بالسرعة، ولهذا لا يُستحسن الحديث عن «كتلة تزداد مع السرعة».
الاشتقاق
1. حجة أينشتاين عام 1905
جسم ساكن يطلق نبضتي ضوء متساويتين في اتجاهين متعاكسين، طاقتهما معاً \(L\)، فيبقى ساكناً. يقيس مراقب يتحرك بسرعة \(v\) طاقة النبضتين \(\gamma L\) بسبب انزياح دوبلر. حفظ الطاقة في الإطارين يعطي أن طاقة حركة الجسم نقصت بمقدار \((\gamma-1)L\)، وعند السرعات الصغيرة:
$$\Delta K\approx\tfrac12\,\frac{L}{c^{2}}\,v^{2}$$سرعة الجسم لم تتغير، فلا بد أن كتلته نقصت بمقدار \(\Delta m=L/c^{2}\). هذا أصل العلاقة.
2. الطاقة والزخم في النسبية الخاصة
الطاقة والزخم مركبات متجه رباعي \((E/c,\ \mathbf{p})\) طوله ثابت في كل الأطر. في إطار الجسم الساكن \(p=0\) فيكون طوله \(mc\)، وفي أي إطار آخر:
$$\frac{E^{2}}{c^{2}}-p^{2}=m^{2}c^{2}\quad\Longrightarrow\quad E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}$$وبالتعويض \(p=\gamma mv\) يتحقق أن \(E=\gamma mc^{2}\).
3. الحد الكلاسيكي
بنشر \(\gamma\) عند \(v\ll c\):
$$E=mc^{2}+\tfrac12mv^{2}+\tfrac38\,\frac{mv^{4}}{c^{2}}+\cdots$$فطاقة الحركة \(K=E-mc^{2}=(\gamma-1)mc^{2}\) تؤول إلى \(\tfrac12mv^{2}\)، ويضيف الحد التالي تصحيحاً نسبياً قدره \(\tfrac34\,v^{2}/c^{2}\).
4. الجسيمات عديمة الكتلة
بوضع \(m=0\) تبقى \(E=pc\)، وهي علاقة الفوتون، فيسير دائماً بسرعة \(c\).
السياق التاريخي
ظهرت فكرة أن للطاقة قصوراً في دراسات الكهرومغناطيسية قبل النسبية، لكن أينشتاين جعلها قاعدة عامة لكل أشكال الطاقة. ثم احتاج تأكيدها التجريبي ثلاثين سنة حتى صارت الكتل تُقاس بدقة كافية.
- 1881طومسون يحسب أن الكرة المشحونة تكتسب قصوراً إضافياً من مجالها الكهرومغناطيسي.
- 1900بوانكاريه يبيّن أن للإشعاع زخماً قدره \(E/c\)، أي أنه يتصرف كأن له كتلة \(E/c^{2}\).
- 1905أينشتاين ينشر في Annalen der Physik بحثاً قصيراً بعنوان «هل يعتمد قصور الجسم على محتواه من الطاقة؟» ويستنتج \(\Delta m=L/c^{2}\).
- 1907أينشتاين يعمم النتيجة: كل الطاقة لها كتلة، والكتلة كلها طاقة.
- 1932كوكروفت ووالتون يقذفان الليثيوم ببروتونات معجّلة فيحصلان على جسيمي ألفا، وتتفق طاقتهما مع فرق الكتل، فيكون أول تحقق نووي من العلاقة. وفي السنة نفسها يكتشف أندرسون البوزيترون.
- 1938–39هان وشتراسمان يكتشفان انشطار اليورانيوم، ومايتنر وفريش يقدّران الطاقة المتحررة من فرق الكتل. وبيته يفسر طاقة النجوم باندماج الهيدروجين في الهيليوم.
- 2005راينفيل وزملاؤه يقارنون فرق كتل نظائر السيليكون والكبريت المقيس في مصيدة بنينغ بطاقة أشعة غاما المنبعثة، فتصح العلاقة ضمن 4 × 10⁻⁷ نسبياً.
حدود الصلاحية
متى تصح وكيف تُطبَّق
- النظام المعزول: \(m\) كتلة النظام كله في إطاره الساكن، وتشمل طاقة مكوناته الحركية وطاقة الربط بينها. صندوق مغلق فيه فوتونات له كتلة رغم أن كل فوتون عديم الكتلة.
- المحفوظ: الطاقة الكلية والزخم محفوظان، والكتلة الكلية للنظام المعزول محفوظة أيضاً لأنها تتبع طاقته. لكن مجموع كتل الأجزاء ليس محفوظاً، وهذا ما يقيسه \(Q\).
- النسبية العامة: في الحقول التثاقلية القوية تعريف الكتلة والطاقة الكلية لنظام أدق وأعقد، لكن العلاقة المحلية تبقى صحيحة.
- الكتل الذرية: الجداول تعطي كتل الذرات المتعادلة بإلكتروناتها. نطرح الإلكترونات ضمنياً باستعمال كتلة ذرة الهيدروجين بدل البروتون، ونهمل طاقة ربط الإلكترونات لأنها صغيرة جداً مقارنة بطاقة الربط النووي.
طاقات الربط من الكتل المقيسة
الجدول محسوب من الكتل الذرية في قاعدة NIST وكتلة النيوترون في CODATA 2018 بالعلاقة \(B=(Zm_{\mathrm{H}}+Nm_n-M)c^{2}\).
| النواة | الكتلة الذرية (u) | طاقة الربط \(B\) (MeV) | \(B/A\) (MeV) |
|---|---|---|---|
| الديوتيريوم ²H | 2.01410177812 | 2.225 | 1.112 |
| التريتيوم ³H | 3.0160492779 | 8.482 | 2.827 |
| الهيليوم ⁴He | 4.00260325413 | 28.296 | 7.074 |
| الليثيوم ⁷Li | 7.0160034366 | 39.245 | 5.606 |
| الكربون ¹²C | 12.0 | 92.162 | 7.680 |
| الأكسجين ¹⁶O | 15.99491461957 | 127.619 | 7.976 |
| الحديد ⁵⁶Fe | 55.93493633 | 492.259 | 8.790 |
| اليورانيوم ²³⁵U | 235.0439301 | 1783.863 | 7.591 |
| اليورانيوم ²³⁸U | 238.0507884 | 1801.689 | 7.570 |
طاقة الربط لكل نيوكليون تصعد من الأنوية الخفيفة حتى قرب الحديد ثم تهبط ببطء نحو اليورانيوم. لذلك يحرر اندماج الخفيفة طاقة، ويحررها انشطار الثقيلة أيضاً.
المحاكاة التفاعلية
اختر جسيماً وغيّر سرعته وراقب كيف تبتعد طاقة الحركة النسبية عن الصيغة الكلاسيكية كلما اقتربت من \(c\). اللوحة العليا طاقة الحركة بوحدة \(mc^{2}\) مقابل \(v/c\)، والسفلى الطاقة الكلية مقابل الزخم لكل الجسيمات مع نقطة الحالة الحالية. وفي الأسفل محوّل يعطي طاقة السكون لأي كتلة.
- السرعة وعامل لورنتس \(\gamma\)
- —
- الطاقة الكلية \(E=\gamma mc^{2}\)
- —
- طاقة الحركة \(K=(\gamma-1)mc^{2}\)
- —
- الكلاسيكية \(\tfrac12mv^{2}\) ونسبة الخطأ
- —
- الزخم \(pc\)
- —
- كتلة تكافئ طاقة الحركة \(K/c^{2}\)
- —
- طاقة سكون الكتلة المختارة
- —
- بالكيلوواط ساعة وبمكافئ TNT
- —
الكتل من CODATA 2018. مكافئ TNT بالتعريف الاصطلاحي 1 t TNT = 4.184 × 10⁹ J. طاقة السكون كلها لا تتحرر إلا في الفناء مع المادة المضادة؛ التفاعلات النووية تحرر جزءاً صغيراً منها فقط (انظر القسم 9).
التحقق التجريبي
التجارب الحاسمة
عام 1932 عجّل كوكروفت ووالتون بروتونات بجهد عالٍ وقذفا بها هدفاً من الليثيوم، فرصدا أزواجاً من جسيمات ألفا تنطلق في اتجاهين متعاكسين. طاقة الجسيمين معاً تفوق طاقة البروتون الساقط بكثير، وهي تقابل نقص الكتلة في التفاعل \(\mathrm{p}+{}^{7}\mathrm{Li}\to2\,\alpha\). من الكتل الحالية يكون \(Q=17.346\ \mathrm{MeV}\).
وأدق اختبار مباشر جاء عام 2005: قيس فرق كتلة نظيرين من السيليكون ثم من الكبريت بمقارنة ترددات الدوران في مصيدة بنينغ، وقيس الطول الموجي لأشعة غاما المنبعثة عند أسر النيوترون بمطياف بلوري. اتفق \(\Delta mc^{2}\) مع طاقة الفوتونات ضمن 4 × 10⁻⁷.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة: طاقة سكون الإلكترون من الفناء
الإعداد: مصدر بوزيترونات مختوم مثل ²²Na، ومكشاف وميضي NaI(Tl) مع محلل متعدد القنوات، ومصادر معايرة مثل ¹³⁷Cs و⁶⁰Co. البوزيترون يفنى مع إلكترون في المادة المحيطة فينتج فوتونين متعاكسين طاقة كل منهما \(m_ec^{2}\).
- عاير المكشاف بخطوط مصادر المعايرة المعروفة، وارسم القناة مقابل الطاقة.
- ضع مصدر ²²Na وسجّل الطيف مدة كافية لقمة واضحة.
- عيّن مركز قمة الفناء بملاءمة دالة غاوس فوق الخلفية، وحوّله إلى طاقة بمنحنى المعايرة.
- قارن النتيجة بـ\(m_ec^{2}=0.51099895\ \mathrm{MeV}\)، واحسب الكتلة \(m_e=E/c^{2}\).
- للتحقق من أن الفوتونين يخرجان متعاكسين، ضع مكشافين متقابلين وسجّل التزامن بتغيير الزاوية بينهما.
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- المعايرة: استجابة NaI ليست خطية تماماً، فاستعمل خطوطاً على جانبي القمة.
- دقة المكشاف: عرض القمة بضع عشرات من keV، فدقة المركز أفضل بكثير من العرض لكنها تعتمد على الإحصاء.
- استمرار كومبتون: يرفع الخلفية تحت القمة، فاطرحه قبل الملاءمة.
- تراكم النبضات وانجراف الكسب: المعدلات العالية وتغير حرارة المضاعف الضوئي تزيح القمم.
- خط ²²Na الآخر: المصدر يصدر أيضاً أشعة غاما أعلى طاقة، فلا تخلط حافة كومبتون الخاصة بها مع قمة الفناء.
مثال محلول: طاقة اندماج الديوتيريوم والتريتيوم
التفاعل المعتمد في مفاعلات الاندماج التجريبية \({}^{2}\mathrm{H}+{}^{3}\mathrm{H}\to{}^{4}\mathrm{He}+n\). استعمل الكتل الذرية \(m({}^{2}\mathrm{H})=2.01410177812\ \mathrm{u}\) و\(m({}^{3}\mathrm{H})=3.0160492779\ \mathrm{u}\) و\(m({}^{4}\mathrm{He})=4.00260325413\ \mathrm{u}\)، وكتلة النيوترون \(m_n=1.00866491595\ \mathrm{u}\).
- فرق الكتلة (الإلكترونات متساوية في الطرفين فتُلغى): $$\Delta m=m({}^{2}\mathrm{H})+m({}^{3}\mathrm{H})-m({}^{4}\mathrm{He})-m_n$$ ≈ 0.0188829 u
- الطاقة المتحررة بضرب الفرق في \(m_uc^{2}=931.49410242\ \mathrm{MeV}\): $$Q=\Delta m\,c^{2}$$ ≈ 17.589 MeV
- نسبة الكتلة التي تحولت إلى طاقة حركة: \(Q\) مقسومة على طاقة سكون المتفاعلات، ≈ 0.375%. أي أن أكثر من 99% من الكتلة يبقى كتلة.
- توزيع الطاقة: النواتجان ينطلقان بزخمين متساويين ومتعاكسين، فيأخذ الأخف الحصة الأكبر \(K_n\approx Q\,m_{\alpha}/(m_{\alpha}+m_n)\)، أي النيوترون ≈ 14.05 MeV.
- مقارنة بالكيمياء: تفاعل كيميائي يحرر نحو 1 eV لكل جزيء ماء (18 u) يغير الكتلة بنسبة \(\approx6.0\times10^{-11}\) فقط، أي أصغر من نسبة الاندماج بنحو سبع مراتب عشرية. القانون واحد، والفرق في حجم طاقة الربط.
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| الطاقة النووية | طاقة الانشطار هي فرق طاقة الربط بين اليورانيوم وشظاياه، ويُحسب من الكتل. | B/A(²³⁵U) = 7.591 MeV |
| الاندماج | تفاعل الديوتيريوم والتريتيوم يحرر طاقة من فرق الكتل، معظمها مع النيوترون. | Q = 17.589 MeV |
| النجوم | الشمس تحول الهيدروجين إلى هيليوم، فتفقد كتلة بمعدل لمعانها مقسوماً على \(c^{2}\). | 4.26 × 10⁹ kg/s |
| التصوير الطبي (PET) | البوزيترون يفنى مع إلكترون فيخرج فوتونان متعاكسان طاقة كل منهما \(m_ec^{2}\)، وتُكشف أزواجهما لتحديد موضع الفناء. | 0.511 MeV |
| مسرعات الجسيمات | الطاقة تحوّل إلى جسيمات جديدة بكتل كبيرة، والحسابات تعتمد \(E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}\). | عتبة إنتاج زوج إلكترون–بوزيترون 1.022 MeV |
| قياس الكتل الذرية | تُقاس طاقات الربط من الكتل في مصائد بنينغ بدقة تفوق جزءاً من مليار، ومنها تُحسب طاقات التفاعلات. | m_uc² = 931.494 MeV |
مفاهيم خاطئة شائعة
في التفاعل النووي تتحول المادة إلى طاقة.
عدد النيوكليونات لا يتغير. الذي يتغير طاقة الربط، فتنقص كتلة النواتج ويظهر الفرق طاقة حركة وإشعاعاً. الطاقة والكتلة الكلية للنظام المعزول محفوظتان.
كتلة الجسم تزداد بزيادة سرعته.
الكتلة \(m\) ثابتة. الذي يزداد هو الطاقة \(\gamma mc^{2}\) والزخم \(\gamma mv\). مصطلح «الكتلة النسبية» قديم ومضلل.
العلاقة خاصة بالفيزياء النووية.
تنطبق على كل تغير في الطاقة، حتى التفاعلات الكيميائية والتسخين. الفرق هناك أصغر من أن يُقاس بالموازين العادية.
للفوتون كتلة تساوي \(hf/c^{2}\).
الفوتون عديم الكتلة وطاقته \(E=pc\). لكن نظاماً من عدة فوتونات تتحرك في اتجاهات مختلفة له كتلة غير صفرية.
معادلة أينشتاين هي التي صنعت القنبلة الذرية.
القنبلة تعتمد على اكتشاف الانشطار والتفاعل المتسلسل. العلاقة تحسب مقدار الطاقة المتحررة فقط، ولا تبيّن كيف تُحرَّر.
أسئلة التقويم
أساسيما طاقة السكون لغرام واحد من أي مادة؟ قارنها بالـTNT.
أساسييفنى إلكترون وبوزيترون ساكنان. ما طاقة كل فوتون وطوله الموجي؟
متوسطاحسب طاقة ربط نواة الهيليوم-4 من الكتل الذرية.
متوسطإلكترون يتحرك بسرعة 0.9c. احسب \(\gamma\) والطاقة الكلية وطاقة الحركة، وقارنها بالصيغة الكلاسيكية.
متقدماشتق \(E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}\) من \(E=\gamma mc^{2}\) و\(p=\gamma mv\).
متقدملمعان الشمس الاسمي 3.828 × 10²⁶ W. كم كيلوغراماً تفقد في الثانية؟ وهل يغير ذلك كتلتها بشكل محسوس؟
المراجع
- البحث الأصليEinstein, A. (1905). Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? Annalen der Physik, 323(13), 639–641. https://doi.org/10.1002/andp.19053231314
- أول تحقق نوويCockcroft, J. D., & Walton, E. T. S. (1932). Experiments with high velocity positive ions. II. The disintegration of elements by high velocity protons. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, 137(831), 229–242. https://doi.org/10.1098/rspa.1932.0133
- تحقق حديثRainville, S., Thompson, J. K., Myers, E. G., Brown, J. M., Dewey, M. S., Kessler, E. G., Jr., Deslattes, R. D., Börner, H. G., Jentschel, M., Mutti, P., & Pritchard, D. E. (2005). A direct test of E=mc2. Nature, 438(7071), 1096–1097. https://doi.org/10.1038/4381096a
- الكتل الذريةCoursey, J. S., Schwab, D. J., Tsai, J. J., & Dragoset, R. A. (2015). Atomic weights and isotopic compositions with relative atomic masses [Database]. National Institute of Standards and Technology. https://www.nist.gov/pml/atomic-weights-and-isotopic-compositions-relative-atomic-masses
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- كتاب منهجيThornton, S. T., & Rex, A. (2013). Modern physics for scientists and engineers (4th ed.). Cengage Learning. (Ch. 2)
- كتاب منهجيTaylor, E. F., & Wheeler, J. A. (1992). Spacetime physics: Introduction to special relativity (2nd ed.). W. H. Freeman. (Ch. 7)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يعيد حساب أرقام الصفحة: طاقة السكون ومكافئاتها، وطاقات الربط وقيم Q من الكتل الذرية، والطاقة والزخم النسبيين، ويتحقق من أن \(E^{2}-(pc)^{2}\) ثابتة عند كل سرعة، ثم يرسم منحنيات \(E\) مقابل \(pc\).
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the mass-energy page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
c, e = 299_792_458.0, 1.602176634e-19 # exact
MeV = 1e6 * e
uc2 = 931.49410242 # m_u c^2 in MeV (CODATA 2018)
m_n = 1.00866491595 # neutron mass, u (CODATA 2018)
rest = {"e": 0.51099895000, "mu": 105.6583755, "p": 938.27208816, "alpha": 3727.3794066} # MeV (CODATA 2018)
# NIST atomic masses (AME2012), u
M = {"H1": 1.00782503223, "H2": 2.01410177812, "H3": 3.0160492779, "He4": 4.00260325413,
"Li7": 7.0160034366, "C12": 12.0, "O16": 15.99491461957, "Fe56": 55.93493633,
"U235": 235.0439301, "U238": 238.0507884}
Z = {"H2": 1, "H3": 1, "He4": 2, "Li7": 3, "C12": 6, "O16": 8, "Fe56": 26, "U235": 92, "U238": 92}
A = {"H2": 2, "H3": 3, "He4": 4, "Li7": 7, "C12": 12, "O16": 16, "Fe56": 56, "U235": 235, "U238": 238}
def binding(nuc): # B = (Z m_H + N m_n - M) c^2, electrons cancel
return (Z[nuc] * M["H1"] + (A[nuc] - Z[nuc]) * m_n - M[nuc]) * uc2
def energies(mc2, beta): # E, K, pc (K via gamma^2 beta^2/(gamma+1): stable)
g = 1 / np.sqrt(1 - beta**2)
return g * mc2, g * g * beta * beta / (g + 1) * mc2, g * beta * mc2
print(f"c^2 = {c**2:.10e} J/kg -> 1 g = {1e-3*c**2:.4e} J = {1e-3*c**2/4.184e12:.2f} kt TNT")
print(f"Sun: L/c^2 = {3.828e26/c**2:.3e} kg/s")
print(f"p + 7Li -> 2 alpha : Q = {(M['H1']+M['Li7']-2*M['He4'])*uc2:.3f} MeV")
q_dt = (M["H2"] + M["H3"] - M["He4"] - m_n) * uc2
print(f"D + T -> alpha + n : Q = {q_dt:.3f} MeV, neutron gets {q_dt*M['He4']/(M['He4']+m_n):.2f} MeV")
for nuc in Z:
print(f" {nuc:5s} B = {binding(nuc):9.3f} MeV B/A = {binding(nuc)/A[nuc]:.3f} MeV")
E, K, pc = energies(rest["e"], 0.9)
print(f"electron at 0.9c: gamma = {1/np.sqrt(1-0.81):.4f}, E = {E:.4f}, K = {K:.4f}, pc = {pc:.4f} MeV, "
f"classical K = {0.5*rest['e']*0.81:.4f} MeV")
for b in (0.1, 0.9, 0.999999): # invariant mass check
E, K, pc = energies(rest["p"], b)
print(f" proton beta={b}: (E^2-(pc)^2)/(mc^2)^2 = {(E**2-pc**2)/rest['p']**2:.12f}")
pcs = np.logspace(-2, 5, 400) # MeV
for name, m in rest.items():
plt.loglog(pcs, np.sqrt(pcs**2 + m**2), label=f"{name} mc^2 = {m} MeV")
plt.loglog(pcs, pcs, "k--", label="photon E = pc")
plt.xlabel("pc (MeV)"); plt.ylabel("E (MeV)"); plt.legend(); plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
