قانون أينشتاين للظاهرة الكهروضوئية
الضوء يعطي الإلكترون طاقته كمّاً كاملاً: لا انبعاث تحت تردد العتبة، وطاقة الإلكترون المنبعث تزداد خطياً مع التردد.
نص القانون
حين يسقط ضوء تردده \(f\) على سطح فلز، يمتص الإلكترون الواحد فوتوناً واحداً طاقته \(hf\). يخرج الإلكترون من الفلز إذا كانت هذه الطاقة أكبر من دالة الشغل \(\varphi\)، وهي أقل طاقة يحتاجها الإلكترون الأضعف ارتباطاً ليفلت من السطح. ويخرج الأسرع منها بطاقة حركة قصوى:
$$K_{\max}=hf-\varphi$$تُقاس هذه الطاقة بتسليط جهد معاكس على المجمّع حتى يتوقف التيار، وهو جهد الإيقاف \(V_s\):
$$eV_s=K_{\max}\quad\Longrightarrow\quad V_s=\frac{h}{e}\,f-\frac{\varphi}{e}$$ولا يحدث انبعاث إذا نزل التردد عن تردد العتبة، مهما بلغت شدة الضوء:
$$f_0=\frac{\varphi}{h},\qquad\lambda_0=\frac{hc}{\varphi}$$وطاقة الفوتون بدلالة الطول الموجي \(E=hf=hc/\lambda\)، وبالوحدات العملية \(hc\approx1239.8420\ \mathrm{eV\,nm}\).
يحمل القانون أربع نتائج قابلة للقياس: لا انبعاث تحت \(f_0\)، وطاقة الإلكترونات المنبعثة لا تتغير بتغير الشدة، وتزداد خطياً مع التردد بميل \(h/e\)، ويبدأ الانبعاث دون تأخر قابل للقياس، ويتناسب عدد الإلكترونات المنبعثة في الثانية مع شدة الضوء.
المتغيرات والثوابت
| الرمز | الكمية | القيمة أو الوحدة (SI) | الأبعاد |
|---|---|---|---|
| \(K_{\max}\) | أقصى طاقة حركة للإلكترون المنبعث | J (أو eV) | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(h\) | ثابت بلانك (مضبوط) | 6.626 070 15 × 10⁻³⁴ J·s | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-1}}\) |
| \(f\) | تردد الضوء | Hz | \(\mathsf{T^{-1}}\) |
| \(\varphi\) | دالة الشغل (تمثيلية) | J (أو eV) | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}}\) |
| \(V_s\) | جهد الإيقاف | V | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-3}\,I^{-1}}\) |
| \(e\) | شحنة الإلكترون (مضبوطة) | 1.602 176 634 × 10⁻¹⁹ C | \(\mathsf{I\,T}\) |
| \(f_0\) | تردد العتبة | Hz | \(\mathsf{T^{-1}}\) |
| \(h/e\) | ميل الخط (مشتق) | 4.135667697 × 10⁻¹⁵ V·s | \(\mathsf{M\,L^{2}\,T^{-2}\,I^{-1}}\) |
قيم \(\varphi\) في هذه الصفحة تمثيلية لفلزات نظيفة، وتختلف بين المصادر وبين الأوجه البلورية بمقدار عُشر إلكترون فولت أو أكثر. لذلك تُعامل \(\varphi\) متغيراً في المحاكاة. \(h\) و\(e\) مضبوطان بتعريف النظام الدولي منذ 2019، فميل الخط \(h/e\) يساوي 4.135667697 × 10⁻¹⁵ V·s مشتقاً منهما.
المعنى الفيزيائي
يقول القانون إن الضوء لا يسلّم طاقته للمادة بانسيابية، بل على شكل حزم، كل حزمة \(hf\). وبهذا تُفسَّر ثلاث ملاحظات عجزت عنها النظرية الموجية الكلاسيكية:
- العتبة. إن كان \(hf\lt\varphi\) فلا فوتون واحد يكفي لتحرير إلكترون، وزيادة عدد الفوتونات لا تجمع طاقتها، لأن الإلكترون يمتص فوتوناً واحداً في كل مرة عند الشدات المعتادة.
- استقلال الطاقة عن الشدة. الشدة تحدد عدد الفوتونات في الثانية، فتتغير شدة التيار. أما طاقة الإلكترون المنبعث فتحددها طاقة الفوتون الواحد، أي التردد.
- غياب التأخر. الفوتون يوصل طاقته كاملة في لحظة امتصاصه، فلا حاجة إلى زمن تتراكم فيه الطاقة. التقدير الكلاسيكي لهذا الزمن في القسم 4 يخرج بعدة ثوانٍ، والتجربة تعطي غير ذلك.
\(K_{\max}\) هي أعلى طاقة بين الإلكترونات المنبعثة، وتخص الإلكترون الأضعف ارتباطاً (عند مستوى فرمي) الذي لا يخسر شيئاً في طريقه إلى السطح. الإلكترونات الأعمق ارتباطاً أو التي تتصادم داخل الفلز تخرج بطاقات أقل، ولذلك تتدرج الطاقات من الصفر إلى \(K_{\max}\)، ويهبط تيار المجمّع تدريجياً عند الجهد المعاكس ولا ينقطع فجأة.
الاشتقاق
القانون استنتاج من حفظ الطاقة بعد فرضية الكمّات. لا يلزم اشتقاق أعمق في مستوى هذه الصفحة، لكن كل نتيجة تُحسب بخطوة واضحة.
1. حفظ الطاقة لإلكترون واحد
الفوتون يمنح الإلكترون طاقة \(hf\). يدفع الإلكترون ثمن الخروج من الفلز، ويخسر شيئاً في الطريق. إذا لم يخسر شيئاً كانت طاقته الحركية أعظم ما يمكن:
$$hf=\varphi+K_{\max}$$2. جهد الإيقاف والميل
الإلكترون الأسرع يتوقف حين يعمل الجهد المعاكس عليه شغلاً \(eV_s\) يساوي طاقته. بالتعويض:
$$V_s=\frac{h}{e}\,f-\frac{\varphi}{e}$$رسم \(V_s\) مقابل \(f\) خط مستقيم ميله \(h/e=4.135667697\times10^{-15}\ \mathrm{V\,s}\) وتقاطعه مع المحور الرأسي \(-\varphi/e\). الميل لا يتغير بتغير الفلز، وهذا ما اختبره ميليكان. تقاطع الخط مع محور التردد هو \(f_0=\varphi/h\).
3. تيار التشبع
تمتص السطح قدرة ضوئية \(P\) فيصله \(P/hf\) فوتوناً في الثانية. إذا خرج إلكترون واحد من كل \(1/Y\) فوتوناً (\(Y\) الكفاءة الكمّية)، فتيار التشبع حين تُجمَع كل الإلكترونات:
$$I_{\mathrm{sat}}=e\,Y\,\frac{P}{hf}$$وهو يتناسب مع القدرة \(P\) ولا يغير \(V_s\).
4. لماذا فشلت النظرية الموجية
الموجة الكلاسيكية تعطي الإلكترون طاقة تتناسب مع الشدة، فيتوقع أن تزداد طاقة الإلكترونات بزيادة الشدة، وألا توجد عتبة. وتتنبأ بتأخر: على فرض أن الذرة تجمع الطاقة من مساحة مقطع \(\pi r^{2}\) بنصف قطر \(r=0.1\ \mathrm{nm}\)، فضوء شدته \(1\ \mathrm{W/m^{2}}\) يوصل قدرة \(P=I\pi r^{2}\)، فيلزم زمن:
$$t\approx\frac{\varphi}{I\,\pi r^{2}}\approx13.8\ \mathrm{s}\qquad(\varphi=2.7\ \mathrm{eV})$$تقدير تقريبي، لكن رتبته بعدة ثوانٍ، والقياس يعطي انبعاثاً شبه فوري.
السياق التاريخي
بدأ الأمر ملاحظة جانبية في تجارب الشرارة، ثم تحول إلى أوضح دليل على أن للضوء طبيعة جسيمية. استغرق التحقق الكامل من معادلة أينشتاين أكثر من عشر سنوات.
- 1887هرتز يلاحظ أن الأشعة فوق البنفسجية تسهّل قفز الشرارة بين قطبين، فيصف أثراً للضوء في التفريغ الكهربائي.
- 1888هالفاكس يبيّن أن لوحاً من الزنك المشحون بشحنة سالبة يفقدها عند تعريضه للأشعة فوق البنفسجية.
- 1899طومسون ولينارد يثبتان أن الجسيمات المنبعثة إلكترونات.
- 1902لينارد يقيس أن طاقة الإلكترونات لا تتغير بتغير شدة الضوء، وأن الطاقة تتغير بالتردد، وهو ما لا تستطيع النظرية الموجية تفسيره.
- 1905أينشتاين يقترح أن الضوء يتكون من كمّات طاقتها \(hf\) ويستنتج المعادلة وتنبؤاتها كاملة.
- 1914–16ميليكان، وكان متشككاً في الفكرة، يجري قياسات دقيقة على الصوديوم والبوتاسيوم والليثيوم في أنبوب مفرغ تُقشَّر فيه الأسطح من الخارج، فيؤكد المعادلة ويستخرج \(h\) بخطأ يقارب نصف بالمئة.
- 1921أينشتاين يُمنح جائزة نوبل في الفيزياء «لخدماته للفيزياء النظرية ولاسيما اكتشافه قانون الظاهرة الكهروضوئية»، لا لنظرية النسبية.
- 1923ميليكان ينال نوبل لقياسه شحنة الإلكترون ولدراساته الكهروضوئية، ويثبت كومبتون أن للفوتون زخماً.
حدود الصلاحية
دالة الشغل ليست رقماً ثابتاً للمادة
القيم التالية تمثيلية ومقرّبة إلى 0.1 eV. تتغير دالة الشغل بين الأوجه البلورية للفلز نفسه وبحسب نظافة السطح والأكسدة ودرجة الحرارة، وتجمع مراجعة ميكلسون (1977) قياسات 63 عنصراً وتُظهر تفاوتها بين الدراسات. استعمل قيمة سطحك المقيسة لا جدولاً عاماً.
| الفلز | \(\varphi\) تمثيلية (eV) | تردد العتبة (THz) | طول موجة العتبة (nm) |
|---|---|---|---|
| السيزيوم | 2 | 483.6 | 620 |
| البوتاسيوم | 2.3 | 556.1 | 539 |
| الصوديوم | 2.7 | 652.9 | 459 |
| الزنك | 4.3 | 1039.7 | 288 |
| البلاتين | 5.6 | 1354.1 | 221 |
حدود القانون
- فوتون واحد لكل إلكترون: بليزر شديد جداً يمتص الإلكترون عدة فوتونات معاً فيحدث انبعاث تحت العتبة وتصير \(K_{\max}=nhf-\varphi\). القانون البسيط ينطبق على الشدات المعتادة.
- الجهد المقيس: يتأثر جهد الإيقاف بدالة شغل المجمّع لا المصدر وحده، لأن الإلكترون يعبر فرق جهد التلامس بين المعدنين. يغيّر هذا تقاطع الخط لا ميله.
- الحرارة: عند الحرارة العالية تسهم الانبعاثات الحرارية في التيار، وتنعّم العتبة بدل أن تكون حادة.
- الكفاءة: لا يخرج إلكترون لكل فوتون. الكفاءة \(Y\) صغيرة وتتغير مع التردد، فالقانون يحدد طاقة الإلكترونات لا عددها.
- الأثر الداخلي: في أشباه الموصلات يحرر الفوتون إلكتروناً داخل المادة (خلايا شمسية، مجسات)، والتحليل مختلف.
- التردد العالي: مع فوتونات أشعة سينية يصير الأثر الكهروضوئي منافساً لتأثير كومبتون، ويعتمد على العدد الذري للمادة.
تعرض المحاكاة في القسم 7 قياس جهد الإيقاف ومنحنى التيار والجهد، وتضاعف الشدة لتبيّن أنها تغيّر التيار ولا تغيّر نقطة التوقف.
المحاكاة التفاعلية
أنبوب ضوئي مثالي: اختر الطول الموجي ودالة الشغل وشدة الضوء والكفاءة الكمّية، ثم حرّك جهد المجمّع. اللوحة العليا هي منحنى التيار مقابل الجهد، والسفلى جهد الإيقاف مقابل التردد للفلز المختار، وعليها نقطة الضوء الحالي. فعّل «مضاعفة الشدة» لترى أن المنحنى يرتفع ولا تنزاح نقطة التوقف.
- طاقة الفوتون \(hf\)
- —
- عتبة الانبعاث \(\lambda_0\) و\(f_0\)
- —
- أقصى طاقة حركة \(K_{\max}\)
- —
- أقصى سرعة \(v_{\max}\)
- —
- جهد الإيقاف \(V_s\)
- —
- تيار التشبع وعدد الفوتونات
- —
- التيار عند الجهد المختار
- —
النموذج: مساحة السطح 1 cm²، والكفاءة \(Y\) ثابتة مع التردد، وطاقات الإلكترونات المنبعثة موزعة بانتظام بين صفر و\(K_{\max}\) (تبسيط، وشكل التوزيع الحقيقي يختلف باختلاف الفلز)، وكل إلكترون يخرج يبلغ المجمّع عند \(V\ge0\). جهد الإيقاف في اللوحة هو \(V_s=(hf-\varphi)/e\) من المعادلة نفسها.
التحقق التجريبي
التجارب التاريخية الحاسمة
اختبر لينارد عام 1902 التيار الكهروضوئي بتغيير الشدة والتردد، فوجد أن الشدة تغيّر عدد الإلكترونات ولا تغيّر طاقتها. وبعد أينشتاين بعشر سنوات قاس ميليكان جهد الإيقاف لفلزات قلوية في أنبوب مفرغ، وقطع أسطحها بسكين دوّار من الخارج لإزالة الأكسيد، وأضاءها بخطوط مصباح زئبق. رسم \(V_s\) مقابل \(f\) فوجده خطاً مستقيماً، وحسب منه \(h=6.57\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}\) بدقة نحو نصف بالمئة. القيمة الحالية أكبر منها بنحو 0.8%. أنتجت التجربة النسبة \(h/e\) أولاً، ثم استعمل ميليكان قيمة \(e\) التي قاسها قبل ذلك.
تنفيذ التجربة في معمل الجامعة
الإعداد: أنبوب ضوئي (فوتوأنود وكاثود)، ومصباح زئبق، ومرشحات تداخلية أو محزوز لعزل الخطوط، ومصدر جهد متغير، ومقياس تيار حساس (بيكو أمبير)، ومقياس جهد. الخطوات:
- مرّر خط الزئبق الأول على الكاثود وسجّل التيار عند جهود معاكسة تتدرج من الصفر حتى انعدام التيار.
- حدد جهد الإيقاف لكل خط، أي الجهد الذي ينعدم عنده التيار بعد طرح تيار الظلام والتيار العكسي.
- كرّر مع كل خطوط الزئبق المتاحة وسجّل تردد كل منها \(f=c/\lambda\).
- ارسم \(V_s\) مقابل \(f\) واجعل خطاً مستقيماً بالمربعات الصغرى.
- اقرأ \(h\) من حاصل ضرب \(e\) في الميل، وتردد العتبة من تقاطع الخط مع المحور الأفقي، ودالة الشغل \(\varphi=h f_0\) (تذكّر أن المقيس هو للمجمّع).
الجدول يعرض ما يتوقعه القانون لصوديوم بدالة شغل تمثيلية 2.7 eV:
| خط الزئبق (nm) | التردد (THz) | طاقة الفوتون (eV) | \(V_s\) المتوقع (V) |
|---|---|---|---|
| 365 | 821.3 | 3.397 | 0.697 |
| 405 | 740.2 | 3.061 | 0.361 |
| 436 | 687.6 | 2.844 | 0.144 |
| 546 | 549.1 | 2.271 | لا انبعاث (دون العتبة) |
| 577 | 519.6 | 2.149 | لا انبعاث (دون العتبة) |
مصادر الخطأ التي يجب أن يناقشها التقرير
- جهد التلامس: المقيس هو \(\varphi\) المجمّع لا المصدر. تغيير المجمّع يزيح الخط رأسياً ولا يغيّر الميل.
- التيار العكسي: الضوء المبعثر قد يحرر إلكترونات من المجمّع، فينقلب اتجاه التيار قبل أن ينعدم تماماً ويصعب تحديد نقطة الانعدام.
- تيار الظلام والتسرب: ينبغي قياسه وطرحه، وخاصة عند التيارات الصغيرة قرب الإيقاف.
- عرض الخط الطيفي: المرشحات تمرر نطاقاً لا خطاً واحداً، فيضبب جهد الإيقاف.
- تلوث السطح وتغيّر دالة الشغل: الأكسدة ترفعها، فتحتاج القياسات إلى تفريغ جيد وأسطح حديثة.
- تحديد نقطة الانعدام: المنحنى ينعدم تدريجياً لا بانكسار حاد، فاستعمل طريقة ثابتة (التقاطع الخطي مثلاً) لكل الخطوط.
مثال محلول: ضوء بنفسجي على الصوديوم
يضيء ضوء طوله الموجي 400 nm وشدته 1 mW/cm² سطح صوديوم مساحته 1 cm². خذ \(\varphi=2.7\ \mathrm{eV}\) وكفاءة كمّية \(Y=10^{-3}\). احسب طاقة الفوتون، وأقصى طاقة وسرعة للإلكترون، وجهد الإيقاف، وتيار التشبع.
- طاقة الفوتون: $$E=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1239.8420\ \mathrm{eV\,nm}}{400\ \mathrm{nm}}=4.966\times10^{-19}\ \mathrm{J}$$ ≈ 3.0996 eV.
- الانبعاث ممكن لأن طاقة الفوتون أكبر من دالة الشغل، وطول موجة العتبة 459 nm (التردد 652.9 THz) أكبر من 400 nm.
- أقصى طاقة حركة: $$K_{\max}=hf-\varphi=3.0996-2.7$$ ≈ 0.3996 eV أي \(6.402\times10^{-20}\ \mathrm{J}\).
- جهد الإيقاف: 0.3996 V.
- أقصى سرعة من \(K=\tfrac12mv^{2}\) مع كتلة الإلكترون \(m=9.1093837015\times10^{-31}\ \mathrm{kg}\): $$v_{\max}=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m}}$$ ≈ 375 km/s، وهي أقل بكثير من سرعة الضوء فالمعالجة غير النسبية كافية.
- القدرة الساقطة \(P=1\ \mathrm{mW}\)، فعدد الفوتونات في الثانية: $$\frac{P}{hf}\approx2.01\times10^{15}\ \mathrm{s^{-1}}$$ وبكفاءة \(Y=10^{-3}\) يكون تيار التشبع \(I_{\mathrm{sat}}=eYP/hf\) ≈ 0.323 µA. مضاعفة الشدة تضاعف هذا التيار فقط ولا تغيّر \(V_s\).
التطبيقات
| المجال | كيف يُستخدم القانون | رقم مرجعي |
|---|---|---|
| المضاعف الضوئي | فوتون واحد يحرر إلكتروناً من المهبط الضوئي فتُضاعَف الإلكترونات على سلسلة أقطاب، ويكشف الضوء الضعيف جداً. | عتبة تحددها \(\varphi\) للمهبط |
| أجهزة الاستشعار والكاميرات | مجسات الضوء الكهروضوئية تحوّل الضوء إلى تيار يتناسب مع عدد الفوتونات. | \(I_{\mathrm{sat}}=eYP/hf\) |
| مطيافية الإلكترونات (XPS و UPS) | تقاس طاقة الإلكترونات المنبعثة بفوتونات معلومة الطاقة، فتُستخرج طاقات ارتباط المستويات الذرية: \(E_B=hf-\varphi-K\). | سطوح ومواد |
| أجهزة الإنذار والعدّ | خلية كهروضوئية تكشف انقطاع الحزمة الضوئية. | تيار يتبع الشدة |
| الخلايا الشمسية | أثر داخلي مشابه: الفوتون يحرر إلكتروناً داخل أشباه الموصلات بشرط \(hf\gt E_g\). | فجوة الطاقة \(E_g\) |
| الفلكيات | الكاشفات الضوئية في التلسكوبات تعدّ الفوتونات من أجرام خافتة. | كفاءة كمّية \(Y\) |
مفاهيم خاطئة شائعة
زيادة شدة الضوء تزيد طاقة الإلكترونات المنبعثة.
تزيد عددها فقط، أي التيار. طاقة الإلكترون تحددها طاقة الفوتون الواحد \(hf\)، فيغيّرها التردد.
الضوء الضعيف الذي ترددّه فوق العتبة لا يحرر إلكترونات حتى تتراكم طاقته.
يحرر الفوتون الواحد إلكتروناً فوراً، فيقل التيار ولا يتأخر الانبعاث. حتى الضوء الخافت جداً يعطي نبضات فورية متفرقة.
أينشتاين نال نوبل لنظرية النسبية.
نالها عام 1921 لقانون الظاهرة الكهروضوئية، ولخدماته للفيزياء النظرية.
الظاهرة تثبت أن الضوء ليس موجة.
تثبت أن تبادل الطاقة مع المادة كمّي. الضوء نفسه يُظهر تداخلاً وحيوداً في تجارب أخرى، فتتطلب الصورة الكاملة الطبيعتين.
دالة الشغل خاصية ثابتة للعنصر.
تتغير بالوجه البلوري ونظافة السطح والأكسدة. القيم الجدولية متوسطات، وقيم الصفحة تمثيلية.
أسئلة التقويم
أساسياحسب طاقة فوتون ضوء أخضر طوله الموجي 550 nm بوحدة eV.
أساسيصوديوم دالة شغله 2.7 eV يُضاء بضوء أخضر 550 nm شدته عالية جداً. هل ينبعث إلكترون؟
متوسطاحسب جهد الإيقاف لزنك (\(\varphi=4.3\ \mathrm{eV}\)) يُضاء بضوء 254 nm.
متوسطتضاعفت شدة الضوء مع بقاء اللون، فماذا يتغير في منحنى التيار والجهد؟
متقدمبيّن كيف يُستخرج \(h\) من رسم \(V_s\) مقابل \(f\) دون معرفة \(\varphi\)، ولماذا لا يتأثر الميل بالمجمّع.
متقدمقدّر الزمن الذي تحتاجه ذرة بنصف قطر 0.1 nm لتجمع طاقة 2.7 eV من ضوء شدته 1 W/m² وفق النظرية الموجية، ولماذا يناقض هذا التجربة.
المراجع
- البحث الأصليEinstein, A. (1905). Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt. Annalen der Physik, 322(6), 132–148. https://doi.org/10.1002/andp.19053220607
- تحقق تجريبيMillikan, R. A. (1916). A direct photoelectric determination of Planck’s “h”. Physical Review, 7(3), 355–388. https://doi.org/10.1103/PhysRev.7.355
- اكتشافHertz, H. (1887). Ueber einen Einfluss des ultravioletten Lichtes auf die electrische Entladung. Annalen der Physik, 267(8), 983–1000. https://doi.org/10.1002/andp.18872670827
- تجريبي تاريخيLenard, P. (1902). Ueber die lichtelektrische Wirkung. Annalen der Physik, 313(5), 149–198. https://doi.org/10.1002/andp.19023130510
- بياناتMichaelson, H. B. (1977). The work function of the elements and its periodicity. Journal of Applied Physics, 48(11), 4729–4733. https://doi.org/10.1063/1.323539
- الثوابتTiesinga, E., Mohr, P. J., Newell, D. B., & Taylor, B. N. (2021). CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018. Reviews of Modern Physics, 93(2), 025010. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.93.025010
- كتاب منهجيEisberg, R., & Resnick, R. (1985). Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles (2nd ed.). Wiley. (Ch. 2)
- كتاب منهجيThornton, S. T., & Rex, A. (2013). Modern physics for scientists and engineers (4th ed.). Cengage Learning. (Ch. 3)
كود إعادة الإنتاج
سكربت Python يعيد حساب أرقام الصفحة: طاقة الفوتون وتردد العتبة وجهد الإيقاف والسرعة النسبية الدقيقة وتيار التشبع، ويتحقق بملاءمة مستقيم على نقاط خطوط الزئبق أن الميل يساوي \(h/e\)، ثم يرسم منحنى التيار والجهد وخطوط \(V_s\) مقابل \(f\).
#!/usr/bin/env python3
"""Reproduces the numbers on the photoelectric page (shown in section 14)."""
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# SI 2019 exact constants; electron mass is the measured CODATA 2018 value
h, e, c = 6.62607015e-34, 1.602176634e-19, 299_792_458.0
m_e = 9.1093837015e-31
phi_Na = 2.7 # eV, representative (differs between sources and surfaces)
def photon_eV(lam): # E = h c / lambda [eV], lambda [m]
return h * c / (lam * e)
def kmax_eV(f, phi): # K_max = h f - phi, zero below threshold
return np.maximum(h * f / e - phi, 0.0)
def v_max(K_eV): # exact relativistic speed from K = (gamma - 1) m c^2
g = 1 + K_eV * e / (m_e * c**2)
return c * np.sqrt(1 - 1 / g**2)
def photocurrent(V, f, phi, P, Y, n=1.0):
"""Collector current [A]; V < 0 retards. Energies uniform on [0, K_max] (a simplification)."""
Vs = kmax_eV(f, phi)
Isat = e * Y * P / (h * f) if Vs > 0 else 0.0
return Isat * np.where(V >= 0, 1.0, np.clip(1 + V / (Vs if Vs > 0 else 1), 0, 1))
print(f"h/e = {h/e:.9e} V s hc = {h*c/e*1e9:.4f} eV nm")
lam = 400e-9; f = c / lam
K = kmax_eV(f, phi_Na)
print(f"400 nm on Na (phi={phi_Na} eV): E = {photon_eV(lam):.4f} eV, K_max = {K:.4f} eV, "
f"V_s = {K:.4f} V, v_max = {v_max(K)/1e3:.0f} km/s")
print(f"threshold: lambda0 = {h*c/(phi_Na*e)*1e9:.1f} nm, f0 = {phi_Na*e/h/1e12:.1f} THz")
P = 10.0 * 1e-4 # 1 mW/cm^2 on 1 cm^2
print(f"photons/s = {P/(h*f):.3e}, I_sat = {e*1e-3*P/(h*f)*1e6:.3f} uA (Y = 1e-3)")
print(f"classical delay estimate: {phi_Na*e/(1.0*np.pi*(1e-10)**2):.1f} s (I = 1 W/m^2, r = 0.1 nm)")
# Millikan-style fit on the mercury lines: slope = h/e, intercept = -phi/e
hg = np.array([365.0, 405.0, 436.0]) * 1e-9
fh = c / hg; Vs = kmax_eV(fh, phi_Na)
slope, icpt = np.polyfit(fh, Vs, 1)
print(f"fit: h = e*slope = {e*slope:.6e} J s (exact {h:.6e}), phi = {-icpt:.4f} eV, f0 = {-icpt/slope/1e12:.1f} THz")
for l, fx, v in zip(hg, fh, Vs):
print(f" Hg {l*1e9:.0f} nm: f = {fx/1e12:.1f} THz, E = {photon_eV(l):.3f} eV, V_s = {v:.3f} V")
# plots: I(V) for two intensities, and V_s(f) for several work functions
V = np.linspace(-1.0, 1.0, 400)
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))
ax[0].plot(V, photocurrent(V, f, phi_Na, P, 1e-3) * 1e6, label="I")
ax[0].plot(V, photocurrent(V, f, phi_Na, 2 * P, 1e-3) * 1e6, "--", label="2 I")
ax[0].set_xlabel("collector voltage (V)"); ax[0].set_ylabel("current (uA)"); ax[0].legend()
fr = np.linspace(0, 1500e12, 400)
for name, phi in {"Cs": 2.0, "K": 2.3, "Na": 2.7, "Zn": 4.3, "Pt": 5.6}.items():
ax[1].plot(fr / 1e12, h / e * fr - phi, label=f"{name} ({phi} eV)")
ax[1].axhline(0, color="k", lw=.5); ax[1].set_ylim(-6, 5)
ax[1].set_xlabel("f (THz)"); ax[1].set_ylabel("V_s (V)"); ax[1].legend()
plt.tight_layout(); plt.show()في مسارات التعلّم
